Беселеві функції
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
бачити, якщо покласти й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо на , те для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо .
Викладене показує, що якщо безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +?, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +?, а якщо, крім того, , де , те .
Розглянемо рівняння Беселя
на інтервалі . Підстановка приводить до рівняння
.
Очевидно, і мають ті самі нулі. Тому що , де ціла функція, то не має нулів на при досить малому , і тому що при , те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність
причому .
Якщо , то задовольнить рівнянню
на інтервалі (0, +?). Підстановка приводить до рівняння
і, отже, задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо
, де ,
, де ,
звідки
,
отже,
, де .(22)
Нехай тепер . Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо
,
тобто
,(23)
звідки видно, що якщо і є різними нулями функції , те
.(23`)
Цим доведено, що при система функцій
на інтервалі є ортогональної щодо ваги .
Переходячи до межі при в співвідношенні
і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому
, (24)
отже, якщо є нулем функції , те
.(24`)
Таким чином, при кожному всякій безперервній функції на , що задовольняє вимозі
,
поставлений у відповідність ряд Фурє-Беселя
,(25)
коефіцієнти якого визначаються формулами
.(25`)
Можна довести, що система функцій на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фурє-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.
Можна показати, що якщо й безперервна на й функція, то ряд Фурє-Беселя цієї функції сходиться до неї при .
6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу
Нехай позитивна функція й яка-небудь функція для досить більших значень . Запис
при
означає, що найдуться такі числа й M, що при маємо .
Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо позитивна функція й яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис
при
означає, що найдуться такі числа й , що на .
Допоміжна лема
Якщо двічі безупинно диференцюєма на , то для функції
має місце асимптотичне подання
при .
Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:
.(26)
Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи на , знайдемо:
,
але, замінивши на , одержимо:
.
Якщо позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то й , а отже, і є при , тому
при ,
звідки
при .
Отже, одержуємо асимптотичне подання:
при .(27)
Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:
,
.
Очевидно, двічі безупинно на , але існують і , тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:
,
де перший доданок правої частини є при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі
,
який сходиться, тому що
при ;
отже, другий доданок є теж при .
Отже, маємо:
при .(28)
З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:
при .(29)
Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:
при .(29)
Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .
Висновок асимптотичної формули для Jn(x)
Заміняючи на , одержимо:
(з огляду на, що є парна функція від , а є непарна функція від ). Підстановка дає:
,
де є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що є поліном n-й ступеня відносно . Але
і, заміняючи в першому із цих інтегралів на , одержимо:
Тому що й на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:
;
але ; , отже,
.
Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:
при .(30)
Ця формула показує, що з точністю складається до порядку, що, є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.
Зокрема,
при ;(30`)
при .(30)
Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.
Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.
1. Знайти рішення рівняння Беселя при
,
задовольняючим початковим умовам при