Беселеві функції
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
;
3. Беселеві функції з напівцілим індексом
Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
,
,
отже,
.
Але , значить:
.(14)
Далі
,
,
отже,
.
Але , тому
.(15)
За допомогою (10) знаходимо:
,
а з огляду на (14)
,
отже, при цілому позитивному
.(14`)
За допомогою (11) знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
.(15`)
4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
Складемо ряд
,
де комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.
Функція
(16)
(де x лежить в області визначення функцій системи , усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .
Обернено, нехай задана функція , де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою .
Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:
. (17)
Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами
Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (…) виробляюча функція є:
.
Маємо:
, ,
звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:
(тому що в передостанній внутрішній сумі й були звязані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при це буде ; при це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,
,(18)
але це й доводить, що є виробляюча функція для системи .
Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:
,
звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )
(18`)
(18``)
Заміняючи в (18`) і (18``) на , знайдемо:
, (18```)
.(18````)
Інтегральне подання Jn(x)
Тому що, по доведеному, при маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):
де прийнято в увагу, що є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа
.(19)
Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:
.(19`)
5. Ряди Фурє-Беселя
Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння
, ,(20)
де й безперервні функції на . Нехай і ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають
.
Нехай і належать і , тоді після інтегрування в межах від до одержимо
.(21)
Якщо й сусідні нулі рішення , то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (, ) (у противному випадку варто замінити на ), тоді , (рівність нулю виключено, тому що ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , тому що інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку заміняємо на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ?0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).
З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо на , то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти , взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко