Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
Одесское территориальное отделение
Малой академии наук Украины
Секция математики
Специальные методы решения алгебраических уравнений.
Решения уравнений высших степеней
Автор: Касьян Наталья
Ученица 10-М класса
Одесской школы №20
Руководитель:
Касьян Л. Ю.
Научный руководитель
Одесса 2003
Содержание:
1.Определение алгебраического уравнения.
2.История развития науки о решении алгебраических уравнений.
3.Специальные методы решения алгебраических уравнений.
4.Вывод.
5.Список литературы.
Известный немецкий математик Курант писал: На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека. И среди этих знаний было умение решать уравнения.
Уравнение - аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями, или корнями, уравнения. О таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Совокупность решений данного уравнения зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. Уравнение может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если уравнение разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, уравнение x4 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения: x1 = , x2 = - в области действительных чисел и четыре решения: x1 = =, x2 = -, x3 = i, x4 = -i в области комплексных чисел. Уравнение sin x = = 0 имеет бесконечное множество решений: xk = k, k = 0, 1, 2, …, в области действительных чисел.
Если уравнение имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М.
Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот, причём оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.
Процесс разыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:
- Если равные величины увеличить на одно и тоже число, то результаты будут равны.
- Если из равных величин вычесть одно и тоже число, то результаты будут равны.
- Если равные величины умножить на одно и тоже число, то результаты будут равны.
- Если равные величины разделить на одно и тоже число, то результаты будут равны.
В некоторых случаях приходится заменять данное уравнение другим, для которого совокупность корней шире, чем у данного уравнения. Поэтому, если при решении уравнения делались действия, могущие привести к появлению посторонних корней, то все полученные корни преобразованного уравнения проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Наиболее полно изучены алгебраические уравнения. Их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв. Уравнения вида = 0, где - многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида
= a0xiyi … vk + a1x1ym … vn + asxpyq … vr,
где x, y, …, v переменные, а i, j, …, r показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:
= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an.
Например, 3x4 x3 + 2x2 + 4x 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида = 0. Если a00, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 уравнение первой степени. Уравнения второй степени называются линейными. Уравнение второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.
Решение линейного уравнения ax + b = 0 записывается в виде x = -.
Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
x=
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений только третьей и четвёртой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко найти корни. Что касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н. Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удаётся легко решить, факторизуя их левую часть, то есть разлагая её на множители.
Например, ур?/p>