Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
я сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах (пример: уравнение x90 + 5x45 + 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи нахождении критерия разрешимости уравнений в радикалах, т.е. необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам а0, а1, …, аn любого заданного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет.
Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был окончательно разобран, во всяком случае, принципиально, в работах Галуа (Evariste Galois, 1811-1832). За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусе математической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы, т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структуру его корней. В частности, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу так называемых разрешимых групп. Таким образом вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числа действий.
Обратимся теперь к исходному объекту исследования уравнению
а0xn + a1xn-1 + … + an = 0,
где а0, а1, …, аn заданные числа. Еще Гаусс в конце 18 века доказал основную теорему алгебры, гласящую, что при любых а0, а1, …, аn данное уравнение имеет в поле комплексных чисел n корней, точнее, стоящий в его левой части многочлен может быть разложен на линейные множители
= а0,
где а1 … аn некоторые комплексные числа (называемые корнями уравнения). Задача состоит в том, чтобы узнать, существуют ли формулы, выражающие корни а1, …, аn через коэффициенты а0, а1, …, аn c помощью четырех арифметических действий и извлечения радикалов?
Эварист Галуа доказал, что общее уравнение степени n неразрешимо в радикалах. Шестьдесят страниц, написанных накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теории групп основного и наиболее развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира симметрию.
Рассмотрим на примерах некоторые способы решения алгебраических уравнений степени n.
Пример 1. Решить уравнение
.
Разложим левую часть уравнения на множители
Переносим в левую часть и раскладываем полученный многочлен на множители
,
тогда
2x + 2 = 0 или 3x2 6x + 24 = 0. Решая эти уравнения, получаем корни
x1 = -1, x2 = -4, x3 = 2.
Разложение на множители позволило свести решение кубического уравнения к решению квадратного и линейного уравнений.
Пример 2. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на (= 0 не является решением уравнения)
,
тогда
.
Пусть тогда Получим уравнение
По теореме Виета корни уравнения: Значит,
или .
Решая эти уравнения, находим корни
Введение замены позволяет понизить степень уравнения и свести его к решению квадратного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение
Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного и того же выражения .
,
Разложим числитель на множители
.
для любого . Сокращая дробь, получим равносильное уравнение
,
корнями которого являются
Это уравнение можно решить другим способом, выполнив деление многочлена на многочлен
Получим Таким образом, выполняя деление многочлена на многочлен можно понизить степень уравнения.
Пример 4. Решить уравнение
Разделив обе части уравнения на ( не является решением данного уравнения).
.
Полагая , получим уравнение
корнями которого являются .
Значит, или . Первое уравнение не имеет решений на множестве R, а корни второго .
Данный пример показывает, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию
Тогда,
Пусть , получим уравнение
Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни
Значит,
или
Решениями уравнений являются
Пример 6. Решить уравнение
ОДЗ:
Пусть , тогда Получим уравнение
Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду
Корни этого уравнения следовательно,
Рассмотренные примеры показывают основные способы решения алгебраических уравнений степени n: разложение многочлена на множители, деление на одно и тоже выражение, введение новой переменной. Все указанные способы позволяю