Специальные вопросы электроснабжения промышленных предприятий
Контрольная работа - Физика
Другие контрольные работы по предмету Физика
?олько в том случае , если поток отказов простейший, и тогда tср=Тср.
Рассмотрим элемент, который может находиться в двух состояниях: 0 - безотказной работы, 1 - состоянии отказа (восстановления). Определим соответствующие вероятности состояний элемента Р0(t), Р1(t) в произвольный момент времени t при различных начальных условиях. Эту задачу решим при условии, что поток отказов простейший с интенсивностью отказов ?=const и восстановлении ?=const, закон распределения времени между отказами (частота отказов) , время восстановления описывается также показательным законом распределения с параметром ?, т.
е. .
Для любого момента времени сумма вероятностей Р0(t)+ Р1(t)=1 - вероятность достоверного события. Зафиксируем момент времени t и найдём вероятность Р0(t+?t) того, что в момент t+?t элемент находится в работе. Это событие осуществляется при выполнении двух условий.
. В момент t элемент находился в состоянии 0 и за время ?t не произошло отказа. Вероятность работы элемента определяется по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент t элемент был в состоянии 0, равна Р0(t). Вероятность того, что за время ?t он не отказал, равна . С точностью до величины высшего порядка малости можно записать
.
Поэтому вероятность этой гипотезы будет равна произведению Р0(t)•(1- ??t).
. В момент времени t элемент находился в состоянии 1 (в состоянии восстановления), за время ?t восстановление закончилось и элемент перешёл в состояние 0. Эту вероятность также определим по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент времени t элемент находился в состоянии 1, равна Р1(t). Вероятность того, что восстановление закончилось, определим через вероятность противоположного события, т. е. . Следовательно, вероятность второй гипотезы равна Р1(t)• ??t. Вероятность рабочего состояния элемента в момент (t+?t) определяется вероятностью суммы независимых несовместимых событий при выполнении обеих гипотез:
или
;
.
Следовательно, первое уравнение состояния
.
Проводя аналогичные рассуждения для второго состояния элемента - состояние отказа (восстановления), можно записать второе уравнение состояния
.
Таким образом, для описания вероятностей состояния элемента получена система двух дифференциальных уравнений. Необходимо отметить, что ?dt и ?dt выполняют роль вероятностей перехода соответственно в отказовое и в рабочее состояние элемента.
Систему дифференциальных уравнений можно использовать для определения вероятностей безотказной работы системы электроснабжения, функции и коэффициента готовности, вероятности нахождения в ремонте (восстановлении), среднего времени пребывания системы в рабочем состоянии, интенсивности отказов системы на относительно коротких интервалах времени, когда необходим учёт начальных условий (состояний элементов).
Решением системы уравнений, описывающих состояние одного элемента при начальных условиях [Р0(0)=1; Р1(0)=0], будет:
.
Вероятность состояния отказа
.
Если в начальный момент времени элемент находился в состоянии отказа (восстановления) т. е. Р0(0)=0; Р1(0)=1, то
;
.
Для стационарного состояния (t>?) вероятность работы элемента равна стационарному коэффициенту готовности, а вероятность отказа состояния - коэффициенту вынужденного простоя:
;
,
где - среднее время безотказной работы; - среднее время восстановления.
Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя можно интерпретировать как среднюю вероятность нахождения системы соответственно в рабочем состоянии и в состоянии отказа.
Математическая статистика в задачах надёжности
Вопрос № 8.
Как определяется вероятность события по его частоте в опытах?
Ответ:
Если произведена серия из п опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то частотой события А, в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведённых опытов.
Частоту событий иногда называют его статистической вероятностью. Если обозначить её знаком , то частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле
,
где т - число появлений события А; п - общее число произведённых опытов.
Частота события всегда правильная дробь и изменяется в пределах 0??1.
При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. При увеличении числа опытов частота события всё более теряет свой случайный характер, проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней, постоянной величине - его вероятности.
Это свойство устойчивости частот есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях.
Связь между частотой события и его вероятностью - глубокая, органическая. Эти два понятия, по существу, неразделимы. Численная оценка степени возможности события посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные.
Требования и учёт надёжности систем электроснабжения<