Создание модели возникновения Солнечной системы из межзвездного газа на базе численного моделирования с учетом гравитационного взаимодействия частиц
Курсовой проект - Авиация, Астрономия, Космонавтика
Другие курсовые по предмету Авиация, Астрономия, Космонавтика
(r12)+V(r13)+…+V(r23)+…== (5.1)
где V(rij) зависит только от абсолютной величины расстояния rij между частицами i и j. Парное взаимодействие вида (5.1) соответствует простым жидкостям, например жидкому аргону.
В принципе форму V(r) для электрически нейтральных атомов можно построить путем детального расчета, базирующегося на основных законах квантовой механики. Такой расчет очень труден и, кроме того, обычно бывает вполне достаточно в качестве V(r) выбрать простую феноменологическую формулу. Наиболее важными особенностями V(r) для простых жидкостей является сильное отталкивание для малых r и слабое притяжение на больших расстояниях. Отталкивание при малых r обусловлено правилом запрета. Иначе говоря, если электронные облака двух атомов перекрываются, некоторые электроны должны увеличить свою кинетическую энергию, чтобы находиться в различных квантовых состояниях. Суммарный эффект выражается в отталкивании между электронами, называемом отталкиванием кора. Слабое притяжение при больших r обусловлено главным образом взаимной поляризацией каждого атома; результирующая сила притяжения называется силой Ван-дер-Ваальса.
Одной из наиболее употребительных феноменологических формул для V(r) является потенциал Леннарда - Джонса
(5.2)
График потенциала Леннарда-Джонса показан на рис. 6.1. Хотя зависимость r-6 в формуле (6.2) получена теоретически, зависимость r-12
Рис. 5.1 График потенциала Леннарда-Джонса. Отметим, что r измеряется в единицах и V(r)-в единицах
Выбрана только из соображений удобства. Потенциал Леннарда-Джонса параметризуется длиной и энергией . Заметим, что при r= V(r) = 0. Параметр представляет собой глубину потенциальной ямы в точке минимума V(r); этот минимум расположен при расстоянии r=21/6. Заметим, что данный потенциал является короткодействующим и V(r) для r > 2.5 по существу равен нулю.
Удобно выражать длины, энергию и массу в единицах , и m, где m-масса частиц. Мы измеряем скорости в единицах (/m)1/2, а время- в единицах . Для жидкого аргона параметры и потенциала Леннарда-Джонса составляют /kB= 119.8 К и = 3.405 . Масса атома аргона равна 6.69*10-23 г, и отсюда = 1.82*10-12 с. Во избежание путаницы мы отмечаем все безразмерные или приведенные величины звездочкой. Например, приведенная двумерная плотность определяется соотношением р*= р/2.
5.1 Численный алгоритм
Теперь, когда у нас есть четко описанная модель системы многих частиц, необходимо познакомиться с каким-нибудь методом численного интегрирования для расчета траекторий каждой частицы. Уже в своих первых расчетах по моделированию уравнений движения Ньютона мы пришли к заключению, что устойчивость численного решения можно проконтролировать, следя за полной энергией и убеждаясь, что она не ушла от своего первоначального значения. Как можно было предполагать, алгоритмы Эйлера и Эйлера-Кромера не могут обеспечить сохранение энергии на временах, рассматриваемых при моделировании молекулярной динамики. К счастью, обычно нам не приходится привлекать сложный алгоритм. Интуитивно особенно привлекательным кажется алгоритм, определяемый формулами
xn+1=xn+Vn?t+an(?t)2, (5.3a)
Vn+1=Vn+(an+1+an) ?t. (5.3б)
Для упрощения обозначений мы записали этот алгоритм только для одной компоненты движения частицы. Алгоритм в виде (5.3) называется алгоритмом Верле в скоростной форме, и мы обсудим его в приложении 5А. В литературе по молекулярной динамике широко используется эквивалентная, но другая форма записи алгоритма Верле. Поскольку новая координата хn+1 вычисляется с использованием не только скорости Vn, но и ускорения аn, алгоритм Верле обладает более высоким порядком по ?t, чем алгоритмы Эйлера и Эйлера-Кромера. Новая координата используется для нахождения нового ускорения аn+1, которое вместе с an используется для получения новой скорости Vn+1.
5.2 Краевые условия
солнечный протопланетный газодинамический гравитационный
Полезное моделирование должно включать в себя все характерные особенности рассматриваемой физической системы. Напомним, что конечной целью наших модельных расчетов является получение оценок поведения макроскопических систем, т.е. систем, содержащих порядка N=1023-1025 частиц. Рассмотрим сферический резервуар с водой. Доля молекул воды вблизи стенок пропорциональна отношению поверхности к объему (4?R2)/(4?R3/3). Поскольку N = ?(4/3?R3), где ? -плотность, доля частиц вблизи стенок пропорциональна N2/3/N=N-1/3, что при N?1023 пренебрежимо мало. По сравнению с этим количество частиц которое можно изучать в моделях молекулярной динамики, составляет обычно 102 -104, и доля частиц вблизи стенок не мала. В результате мы не можем провести моделирование макроскопической системы, помещая частицы в резервуар с жесткими стенками. Кроме того, если частица отражается от жесткой стенки, ее положение, а значит, и потенциальная энергия взаимодействия изменяются без какого-либо изменения в ее кинетической энергии. Отсюда присутствие жестких стенок означало бы, что полная энергия системы сохраняется.
Один из способов минимизировать поверхностные эффекты и более точно промоделировать свойства макроскопической системы заключается в использовании периодических краевых условий. Реализация периодических краевых условий для короткодействующих взаимодействий, таких как потенциал Леннарда-Джонса, хорошо знакома всем играющим в видеоигры. Рассмотрим сначала одномерный ящик, содержащий N частиц, д?/p>