Содержание и значение математической символики
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
(X)(У)А (X, У); (У)(X) А (X, У); (У)(X)А(X, У); (У)(X)А (X, У); (Y) (X) А (X, У).
Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:
(X)(У)А(X,У) (У)(X)А (X, У);
(X)(У)А (X, У) (Y)(X)А (X, У).
(X)(У)А(X,У) так же как и (У)(X)А(X, У), истинно тогда и только тогда, когда А (X, У) тождественно-истинный предикат, (X)(У)А (X, У) и (Y)(X)А(X,У) оба истинны во всех случаях, кроме одного, когда А(X,У) тождественно-ложный предикат. Все остальные высказывания существенно различны. Особенно следует помнить, что порядок следования разноименных кванторов очень важен.
Я считаю, что к окончанию школы ученики должны овладеть кванторами, но введение их должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях. Учащиеся должны хорошо понимать, что от перестановки кванторов может меняться смысл утверждения.
Например, Пусть I=(а,b) некоторый интервал. Тогда Для всякого хI существует такой у, что у = f (х) ((x)(у) (у = f (х))), означает, что функция f(х) всюду определена на I. Напротив, Существует такое у, что для всякого х у=f (х) ((у)(х)(у=f(х))) означает, что функция f(x) принимает для всех х некоторое фиксированное значение у, т. е. постоянна.
Приведем еще один пример. Корректное определение периодичности всюду определенной функции f(х) выглядит с использованием кванторов так: (c)(x) (c0 f(x+c) = f(x)),
между тем если переставить кванторы и сформулировать утверждение Для каждого х существует такое с, что с0 и что f(х + с) =f(x): (c)(x) (c0 f(x+c) = f(x)), то это означает лишь, что функция принимает каждое значение больше чем один раз, т. е. нечто совсем иное.
В математическом анализе часто приходится сталкиваться с кванторами.
Определение предела последовательности из учебника Алгебра и начала анализа для 10-11 классов сформулировано так Число А является пределом последовательности аn, если для любого >0 существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство . В кванторном обозначении это определение записывается так:
( >0)(NN)(n N)((n>N)
Переставлять кванторы нельзя: именно тот факт, что N под квантором существования следует за выражением (> 0), указывает на зависимость N от выбранного .
Как выразить утверждение, что последовательность (хn) сходится? Надо указать на то, что предел A существует. С помощью кванторов это утверждение формулируется так:
(A) (> 0) (N N) (nN)((n > N) ()).
Такая запись имеет еще и то преимущество, что она почти автоматически позволяет формулировать отрицание существования предела, означающее свойство расходимости. Для этого достаточно несколько раз применить правило де Моргана для кванторов: (хn) расходится ((A) (> 0) (N N) (nN)((n > N) ()) (A)(> 0) (N N) (nN)((n > N) ).
Задания для учащихся.
- Установите, какие из следующих высказываний истинны.
x (x + 1 = x);x (x2 + x + 1>0);x (x2 - 5x + 6>0);x (x2 -6x+80 x2-4x+3>0);x (x2 - 5x + 6 0 x2 + 5x + 6 < 0)
2) При каких аR истинны следующие высказывания: х (x2 +x + а>0);
x (x2 +x + а>0);х (x2 +ax + 1>0);
3) Пусть P(x) = х простое число
E(x) = х четное число
Z(x) = х целое число
D(x,y) = y делится на х
G(x,y) = х > y
Расшифруйте следующие высказывания и выясните, какие из них истинны:
P(x)E(x);x (E(x) D(x,6));
x(P(x)E(x);x(P(x)E(x));
xy(D(x,y)G(y,x));xy(Z(x)Z(y)D(x,y));
xy(Z(x)Z(y)D(x,y)).
4) Запишите с помощью кванторов определение предела функции: число b называется пределом функции f(х) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при всех х а, удовлетворяющих неравенству х а<0, будет выполнено неравенство f (х) b< .
5 Методические рекомендации к теме Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления.
В 5 классе уже возможно обсуждение с учащимися этой темы.
Можно вспомнить с ними, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков одну сотню и т.д., иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда одну единицу третьего разряда и т.д.
Такой способ счета, группами в десять, которым мы пользуемся, называется десятичной системой счисления. Число десять называется основанием десятичной системы счисления. Строго определения десятичной системы давать не стоит.
Затем, нужно обсудить, почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления?
Люди на первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук. Сейчас иногда говорят: Перечесть по пальцам.
Далее следует поговорить о том, что были племена и народы, которые при счете пользовались лишь пятью пальцами одной руки, считали пятками, поэтому и использовали они пятеричную систему счисления, в которой основой служит число 5.
Существуют и другие системы счисления: двоичная, двадцатеричная (следы ее сохранились до сих пор во французском языке они говорят вместо восьмидесяти - четырежды двадцать). Двадцатеричная система возникла у народов, считавших не только с помощью пальцев рук, но и пальцев ног. Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления.
Можно обсудить, сколько цифр используется в каждой из перечисленных систем счисления для изображения чисел.
Также полезно для учащихся будет ознако?/p>