Содержание и значение математической символики
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
? либо оба высказывания истинны, либо оба ложны.
Из этого определения связки следует, что ее матрица истинности выглядит так:
b
aилииллли
Введенными пятью связками (, , , , ) мы ограничимся.
С помощью уже введенных связок мы можем строить сложные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний.
Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а b (читается: a меньше или равно b) представляет собой дизъюнкцию (а < b) (a = b); оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простых высказываний. Хорошими примерами сложных высказываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые двойные неравенства. Так, формула а < b < с означает (а < b) (b < с), а, например, а < b c означает сложное высказывание (а < b) ((b < c) (b = c)).
Построение сложных высказываний делается аналогично тому, как в элементарной алгебре с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А именно, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь сложных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы условимся, что элементарные высказывания следует рассматривать как частный случай сложных). Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В одним из знаков , , , или же построив высказывание А и заключив результат в скобки. Сложными высказываниями будут, например, высказывания следующего вида:
((а b) (с а)); ((а b) (с а)).
При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы являются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.
Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные высказывания. Только словесное описание сложных высказываний быстро становится малообозримым, и именно введение целесообразной символики позволяет проводить более глубокое и точное исследование логических связей между различными высказываниями.
Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение истинности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное высказывание
((b с) (b a))
и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие значения истинности: а = л, b = и, с = и. Тогда b с = и, b a = л, так что (( b с) (b а)), т. е. рассматриваемое высказывание ложно.
4.1.2 Высказывания и булевы функции
Одной из основных задач алгебры высказываний является установление значения истинности сложных высказываний в зависимости от значения истинности входящих в них простых высказываний. Для этого целесообразно рассматривать сложные высказывания как функции входящих в них простых высказываний. С другой стороны, так как значение истинности (и или л) сложного высказывания зависит по определению логических связок не от самих простых высказываний, а лишь от их значения истинности, то можно считать, что любое сложное высказывание определяет функцию, аргументы которой независимо друг от друга принимают значения и или л, а значение самой функции также принадлежит множеству {и, л} (конечно, существенно не то, что речь идет о функциях от нескольких аргументов из множества {и, л} в множество {и, л}, а лишь то, что данные множества двухэлементны. Эти множества зачастую обозначают не через {и, л}, а, например, через {0, 1}, считая, что 1 означает истину, а 0 ложь).
Такие функции называются булевыми функциями (по имени Д. Буля). Например, формула F (а, b, с) = (а b) (с а) описывает, учитывая определение входящих в нее связок, булеву функцию, задаваемую следующей таблицей:
аbсF(a, b, с)аbсF(a, b, с)иииилииииилллилиилииллиииллиллли
Заметим, что булевых функций от n аргументов имеется лишь конечное число, а именно столько, сколько возможно функциональных таблиц. Число возможных наборов аргументов равно 2n, а каждому набору аргументов можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и или л. Таким образом, число всевозможных булевых функций от n аргументов равно Оно очень быстро растет с ростом n. Изучение свойств булевых функций имеет большее значение как для алгебры и математической логики, так и для их приложений в кибернетике и теории автоматов. Естественно распространить определение высказывательных связок, так как мы их определили выше, на булевы функции. Мы ограничимся рассмотрением лишь связок , , называемых булевыми связками (или булевыми операциями). Такое ограничение оправдано тем, что, как легко проверить, связки и могут быть выражены через другие булевы связки. При помощи таблиц истинности, приведенных выше, легко проверяются следующие тождества:
a b ( a) b;
a b (a b) ( a b),
которые позволяют повсеместно заменить связки , на , , .
Если мы теперь имеем булевы функции {F (xl, х2, ..., хn), G (х1, х2, ..., хn)} от n переменных, то действие связок над ними определяется естественным образом:
F (xl, x2, ..., хn) G (х1, x2, ..., хn), F (xl, x2, ...,хn) G (xl, x2, ..., хn), F (xl, x2, ..., хn) это такие булевы функции, которые принимают значения, предписываемые соответствующими таблицами для каждого возможного значения аргументов. Кратко: булевы операции так переносятся на булевы функции, как действия арифметики переносятся на обычные функции числовых аргументов. Вообще имеет место далеко идущая аналогия между обычной алгеброй чисел и числовыми функциями, с одной стороны, и высказываниями и буле