Розробка програмного забезпечення вирішення задачі формування портфеля цінних паперів
Дипломная работа - Экономика
Другие дипломы по предмету Экономика
?нних паперів за офіційними даними Української фондової біржі.
Результати чисельних розрахунків порівняти між собою.
2. Математичне та алгоритмічне забезпечення задачі формування портфеля цінних паперів
2.1 Математичні моделі процесу формування портфеля цінних паперів
2.1.1 Загальна модель процесу формування портфеля цінних паперів
Одним з дієвих методів оцінки при складанні інвестиційного портфеля служить моделювання. Моделювання дозволяє в короткі терміни отримати необхідні інвестиційні характеристики майбутнього портфеля залежно від конюнктури ринку, що складається. Розглянемо наступу оптимізаційну модель.
Припустимо, що задача оптимізації портфеля цінних паперів має вигляд. Вважатимемо, що портфель складається з N цінних паперів, тоді дохідність портфеля описується функцією , та функція показника ризику портфеля цінних паперів має вигляд .
де процентна частка цінного паперу в портфелі; показник ризику даного цінного паперу (середнє квадратичне відхилення прибутковості цінного паперу); прибутковість цінного паперу.
Вирішення цієї задачі має декілька обмежень:
- кількість акцій не може бути негативною:
, (2.1)
- сума відносних часток цінних паперів в загальному обємі портфеля повинна дорівнювати одиниці:
, (2.2)
Це двокритерійна задача, де для оптимізації портфеля необхідно отримати максимальну прибутковість при мінімальному ризику:
, (2.3)
Ця задача не має однозначного вирішення тому необхідно ввести обмеження на один з критеріїв. Для цього введемо максимально допустиму величину ризику . Тоді завдання оптимізації зводиться до вибору такої структури портфеля, де ризик портфеля не перевищує заданого значення, а прибутковість портфеля є максимальною.
(2.4)
2.1.2 Класична модель Марковіца задачі портфельної оптимізації
За моделлю Марковіца визначаються показники, що характеризують обєм інвестицій і ризик що дозволяє порівнювати між собою різні альтернативи вкладення капіталу з погляду поставлених цілей і тим самим створити масштаб для оцінки різних комбінацій .
Як масштаб очікуваного доходу з ряду можливих доходів на практиці використовують найбільш вірогідне значення, яке в разі нормального розподілу збігається з математичним очікуванням.
Модель базується на тому, що показники прибутковості різних цінних паперів взаємоповязані: із зростанням доходності одних паперів спостерігається одночасне зростання і по іншим паперам, треті залишаються без змін, а в четвертих, навпаки доходність знижується. Такий вид залежності не детермінований, тобто однозначно визначений, а є стохастичним, і називається кореляцією.
Класична задача портфельної оптимізації, вперше, розглянута Г. Марковіцем, базується на припущеннях про нормальність розподілу доходностей акцій і стаціонарності фінансових процесів[23].
Математичне очікування доходу по i-ому цінному паперу (ri) розраховується таким чином:
, (2.5)
де можливий дохід по i-ому цінному паперу; вірогідність отримання доходу; кількість цінних паперів; розраховується за формулою.
Для визначення ризику служать показники розсіювання, тому чим більше розкид величин можливих доходів, тим більше небезпека, що очікуваний дохід не буде отриманий. Мірою розсіювання є середньоквадратичне відхилення:
, (2.6)
У моделі Марковіца для визначення ризику замість середньоквадратичного відхилення використовується дисперсія Di, рівна квадрату .
Прибутковість портфеля цінних паперів (середньовзвішеність прибутковостей паперів, що його складають) можна визначити за формулою:
( 2.7)
де кількість цінних паперів в портфелі; відсоткова частка даного паперу в портфелі; прибутковість даного паперу.
Ризик портфеля цінних паперів визначається середнім квадратичним відхиленням прибутковості портфеля:
, (2.8)
де процентні частки даних паперів в портфелі; , ризик даних паперів (середньоквадратичне відхилення); коефіцієнт лінійної кореляції, де розраховується за формулою:
(2.9)
З використанням моделі Марковіца для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляд [24]:
(2.10)
Доходність цінних паперів розраховується за формулою:
(2.11)
де кількість мину лих спостережень доходності даних цінних паперів.
Ризик цінного паперу розраховується за формулою:
(2.12)
де rkt, rlt доходність цінних паперів k та l в період t.
Зрозуміло, що для N цінних паперів необхідно розрахувати коефіцієнтів кореляції.
Проблема полягає в чисельному визначенні відносних часток акцій і облігацій в портфелі, які найбільш вигідні для власника. Марковіц обмежує вирішення моделі тим, що зі всієї безлічі "допустимих" портфелів, тобто що задовольняють обмеженням, необхідно виділити ті, які ризикованіші, ніж інші. Це портфелі, що містять при однаковому доході більший ризик (дисперсію) в порівнянні з іншими, або портфелі, що приносять менший дохід при однаковому рівні ризику [25].
За допомогою розробленого Марковіцем методу критичних ліній можна виділити неперспективні портфелі, що не задовольняють обмеженням. Тим самим залишаються тільки ефективні портфелі, тобто портфелі, що містять мінімальний ризик при заданому доході або приносять мак