Решение задачи повышения надежности резервирования
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?аспределения времени безотказной работы.
Интенсивностью отказов называется отношение плотности распределения к вероятности безотказной работы объекта:
Интенсивность отказов является основным показателем надежности элементов сложных систем. Это объясняется следующими обстоятельствами: надежность многих элементов можно оценить одним числом, т.к. интенсивность отказа элементов - величина постоянная; по известной интенсивности наиболее просто оценить остальные показатели надежности как элементов, так и сложных систем.
Средним временем безотказной работы называется математическое ожидание времени безотказной работы технического объекта:
Как математическое ожидание случайной величины с плотностью среднее время безотказной работы вычисляется по формуле:
Среднее время безотказной работы является интегральным показателем надежности. Его основное достоинство - высокая наглядность.
2.4 Экспоненциальное распределение времени до отказа
Одним из наиболее часто используемых в теории надежности параметрических распределений случайной величины является экспоненциальное (или показательное) распределение. Оно задается функцией
Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать время безотказной работы большого числа элементов. В первую очередь это относится к элементам радиоэлектронной аппаратуры, а также к машинам, эксплуатируемым в период после окончания приработки и до существенного проявления постепенных отказов. Экспоненциальное распределение применяется в областях, связанных с временем жизни: в медицине - продолжительность жизни больных, в надежности - продолжительность безотказной работы устройства, в психологии - время, затраченное на выполнение тестовых задач. Оно используется в задачах массового обслуживания, в которых речь идет об интервалах времени между телефонными звонками, или между моментами поступления техники в ремонтную мастерскую, или между моментами обращения клиентов. Это распределение имеет один параметр где - средняя наработка элемента до отказа. Таким образом, параметр характеризует число отказов элемента в единицу времени и называется интенсивностью отказов, он имеет размерность (время)-1, например, час-1 или лет-1. Плотность экспоненциального распределения задается как:
Функция надежности
определяет вероятность безотказной работы за время
В данном случае интенсивность отказов есть величина постоянная:
3. Математическая модель выбора вариантов резервирования компонентов стендовой информационно-управляющей системы
Из главы 1 известно, что одними из основных показателей безотказности технических средств АСУТП являются среднее время наработки на отказ T и вероятность безотказной работы P(t).
Для элементов установки вероятность безотказной работы можно определить как:
надежность резервирование ракетный математический
где l=const - интенсивность отказов.
При этом частота отказов по определению является плотностью распределения времени до отказа
Среднее время наработки на отказ T определяется следующим образом:
Также в главе 1 было сказано, что элементы установки могут быть резервированы тремя способами: 1oo1, 1oo2 и 2oo3.
Обозначим как Ai - событие, означающее безотказную работу i-го элемента системы, а отказ как . При этом очевидно, что вероятность безотказной работы нерезервированной системы будет определяться выражением
а среднее время наработки на отказ
Рассмотрим резервированную систему, состоящую из двух элементов (1оо2). События A1 и A2 означают безотказную работу этих элементов, следовательно событие A, означающее безотказную работу всей системы определяется как
Учитывая, что элементы резервированной системы идентичны, вероятности событий A1 и A2 равны, эти события независимы, то вероятность безотказной работы системы 1оо2:
Тогда
Аналогично для резервированной схемы 2оо3 можно получить:
На рис. 3 показаны вероятности безотказной работы систем 1оо1, 1оо2 и 2оо3 при l=1 год-1.
Рис. 3. Вероятность безотказной работы 1оо1, 1оо2 и 2оо3 при l=1 год-1
Приравняв P1oo1(t) к P2oo3(t), можно узнать критическое время T2oo3кр=TLn(2)0,7T, после которого вероятность безотказной работы системы 2оо3 становится меньше, чем у системы 1оо1, а использование резервирования становится неэффективным. Проанализировав P1oo1(t) и P1oo2(t), можно сказать, что вероятность безотказной работы системы 1оо2 всегда больше, чем у системы 1оо1, однако нельзя забывать про недостатки 1oo2, рассматриваемые в главе 1.
На основании вышесказанного составим оптимизационную модель выбора вариантов резервирования компонентов стендовой информационно-управляющей системы.
Каждому i-му компоненту может быть назначен один из трех вариантов резервирования: 1 - элемент ставится без резервирования (1оо1), 2 - резервирование замещением один из двух (1оо2), 3 - метод мажоритарного голосования два из трех (2оо3). Пусть n - общее количество резервируемых компонентов.
Введем переменные:
1, если j-му компоненту назначается i-й вариант рез?/p>