Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
ВВЕДЕНИЕ.
Целью моей работы было исследование и приминение свойств параллельного проектирования при изображениии фигур на плоскости и при построении сечений многогранников. Я выбрала данную тему потому что передо мной стояла задача научиться быстро и точно производить различные построения. Актуальность темы заключается в том, что построение сечение широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники, а в школьном курсе геометрии решение такого типа задач уделяется очень мало времени. В работе были использованы задачи, теоремы, аксиомы, свойства, которые являются методами и приемами изучения данной темы. Также были использованны научные пособия таких авторов как А.В. Бубенков, М.Я. Громов (Начертательная геометрия), С. А. Фролов (Начертательная геометрия), А.А. Беклемшнева (Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре).
Геометрические задачи традиционно делятся на три типа:
1. на вычисление;
2. на доказательство;
3. на построение.
Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листке бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связанно с темой Геометрические построения на плоскости. Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем Параллельность прямых и плоскостей в пространстве, Перпендикулярность прямых и плоскостей, Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями. [1].
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Основные понятия теории изображения фигур.
1.1. Параллельное проектирование и его свойства.
Параллельное (цилиндрическое) проецирование можно рассматривать как частный
случай центрального проецирования с несобственным центром. Здесь предмет
рассматривают с бесконечно удаленной точки зрения.
Чертежи геометрических образов в ортогональных проекциях широко применяются в
начертательной геометрии. Они просты в построениях, дают возможность легко
производить различные измерения геометрических образов и определять
взаимоположение отдельных элементов.
Пусть в евклидовом пространстве дана некоторая плоскость По и вектор р + По. Пусть М
- любая точка пространства, не принадлежащая плоскости По. Проведем прямую l || р
через М, тогда l ? По = (Мо). Мо называют проекцией точки М на плоскость По. Если р + По, то Мо - ортогональная проекция точки М на По. Если М € По, то Мо=М. (рис. 1а и 16)
Множество Fо проекций точек данной фигуры F на плоскость По называется проекцией фигуры F на плоскость По.
Легко показать, что параллельное проецирование, как отображение множества точек пространства во множество точек плоскости По, обладает свойствами (рис. 2а, б, в)
1. Проекцией прямой l является прямая lо, если , если то проекцией прямой l является точка Lо, где (Lо) = l ? По.
2. Проекцией параллельных прямых являются параллельные прямые или совпавшие прямые, или две точки.
3. Коллинеарные точки А, В, С проектируются в коллинеарные точки Ао, Во, Со.
4. Неколлинеарные точки А, В, С, лежащие в плоскости П, не параллельной вектору р, проектируются в неколлинеарные точки Ао, Во, Со.
5. Сохраняется отношение лежать между для трех коллинеарных точек А, В, С, если
6. Сохраняется простое отношение трех точек А, В, С, если
7. Если отрезок (луч) АВ не параллелен вектору р, то проекцией АВ является отрезок (луч) АоВо (рис.3)
8. Проекцией пересекающихся прямых являются пересекающиеся прямые или совпадающие прямые.
9. Проекцией скрещивающихся прямых являются пересекающиеся прямые или параллельные прямые, или совокупность точки и прямой (рис. 4а, 46, 4в).
10. Проекцией угла АВС является угол АоВоСо в общем случае ему неравный. (плоскость АВС || р ).
11. Если две фигуры F и Ф - плоские и плоскости в которых они лежат
параллельны между собой, но не параллельные p, то отношение площадей проекций Fо и Фо равно отношению площадей самих фигур F и Ф
Если F - проектируемая фигура при параллельном проецировании, заданном вектором р на плоскость По, то F называют оригиналом, р , направлением проецирования, По - плоскостью проекции, Fо - проекция фигуры на плоскость По. Если некоторая фигура F плоскости П подобна фигуре Fо плоскости По, то F может быть принята за изображение фигуры, т.е. изображением фигуры может являться любая фигура F, подобная параллельной проекции Fо. [4]
1.2. Требования к чертежу
Я установила, что первым и важнейшим шагом решения геометрической задачи является построение чертежа, соответствующего условию. Если задача планиметрическая, то чертеж является либо копией оригинала, либо ему подобен. При изображении пространственных фигур возникают трудности, ибо не может плоская фигура быть подобной пространственной. Чертеж должен удовлетворять некоторым требованиям, способствующим наилучшему восприятию изображения пространственной фигуры.
Прежде всего, чертеж должен быть верен, т, е. представляет собой фигуру, подобную произволь?/p>