Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
льной проекции применяют теорему Польке-Шварца. Всякий полный невыраженный четырехугольник АВСD вместе с его диагоналями можно рассматривать как изображение тетраэдра любой наперед заданной формы (рис. 10).
Используя теорему Польке-Шварца и свойство параллельного проецирования, я показываю, что изображением призмы и пирамиды (рис. 11), цилиндра и конуса (рис. 12) являются фигуры. [4]
2. Методы построения сечений многогранников
2.1. Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F. Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F - изображения фигуры F. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. В дальнейшем будем допускать вольность речи, и говорить строим сечение вместо строим изображение сечения. [5]
Пусть М, N, К - точки секущей плоскости, М1, N1, К1 - их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ1 || NN1, NN1 || КК1, для конусов и
пирамид ММ1? NN1 ? КК1= S (S- вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через А1, В1, С1,... верхнего основания - А, В, С,.... Кратко суть метода следов можно записать следующим образом.
1. МN ? М1N1=X
2. МК ? М1К1=У
3. ХУ= S - след секущей плоскости
4. A1M1 ? S = A0 возможно
5. АоМ ? А1А == А
6. Пункты 4-5 повторить для вершин В1, С1,... нижнего основания фигуры F;
7. - искомое сечение.
Фактически где f гомология, заданная осью s и парой точек М1 > М или N1 > N, или К1 > К.
Строить сечение фигуры F секущей плоскостью ? методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости ?, и решение проводить по указанной схеме.
Пример 1. Построим сечение призмы А1B1C1D1ABCD плоскостью, проходящей через три точки М, N, К. Я рассматриваю все случаи расположения точек М, N, К на поверхности призмы (рис. 13).
Рассмотрим случай: М € ВВ1, N € СС1D1D, K € АА1E1. В данном случае, очевидно, что
М1=В1.
Построение.
1.МN ? М1К1 = Х
1. МК ? М1К1 = У
2. ХУ= S - след секущей плоскости
3. А1К1 ? S =Ао
4. АоК ? А1А= A, АоК ? ЕЕ1= Е.
5. D1N1 ? S= Dо
6. DоN ? DD1 = D, DоN? CC1= C
7. - искомое сечение. [7]
Пример 2.
Построим сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку М € SBC и прямую l лежащую в грани SED. (рис. 14).
Построение.
1. SМ ? ВС=М1
2. МЕ ? МЕ = X, l ? ЕО = У, ХУ = S - след секущей плоскости
3. S ? АВ=К, S ? АЕ = N.
4. ВС ? S = Во, ВоМ ? SB = B, ВоМ ? SC = С.
5. - искомое сечение.
При объяснении шагов построения можно использовать понятие гомологии или факты стереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачи фигурах. Например, в последнем примере комментарии могут быть следующими.
1. То, что дано, считается построенным.
2. Так как точка М лежит в грани SВС, то прямые SМ и ВС пересекаются, следовательно, легко построить их точку пересечения М1.
3. Прямая l лежит в грани SЕD, значит, она пересекает ребра SD и SE в точках и D и Е.
4. Находим прямую s пересечения плоскости основания и секущей плоскости, используя известные точки М, D, Е в секущей плоскости.
5. Очевиден шаг построения.
6. Прямые ВС и s лежат в одной плоскости, Во - их точка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и в плоскости SВС. Точка М лежит в секущей плоскости и в плоскости SВС. Следовательно, прямая ВоМ является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SВС. Таким образом, легко построить точки и В и С .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В задачах на построение сечений не принято проводить исследования, хотя было бы очень полезно его провести. Например, в примере 2 на втором шаге построения рассмотреть случай, когда l || SВ или l || SЕ, на третьем шаге - l || ЕD, на четвертом - s не пересекает АЕ и АВ, на пятом - s || ВС. Рассматривая различные точки, получим при одном условии задачи несколько вариантов решения. В общем случае количество вершин многоугольника сечения может изменяться от 3 до п + 1 - для пирамиды, п +2 - для призмы.
Проведя исследование построения сечения методом следов, я установила, что метод следов легко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечений многогранников, так как расположение точек Х и У следа s может быть за рамками чертежа, прямые, определяющие точку Х (или Y) могут быть параллельны (рис. 15). В тех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют метод внутреннего проецирования или так называемый метод вспомогательных сечений. [6] Изучив параллельное проецирование, я научилась легко и быстро производить различные построения на плоскости. Эти навыки и умения помогли мне при изучении предметов школьного курса, таких как геометрия и черчение, а также при прохождении учебы на художественном отделении Дин?/p>