Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
?ой параллельной проекции оригинала. При этом естественно должны выполняться все свойства параллельного проецирования. При проецировании устанавливается геометрическая (проективная) связь между оригиналом и проекцией. Геометрические образы (формы) содержат в себе свойства, сохраняющиеся в проекциях.
Свойство 1:
Если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении.
Свойство 2:
Точка пересечения проекций пересекающихся прямых линий является проекцией точки пересечения этих прямых линий.
Свойство 3:
Проекции отрезков параллельных прямых линий параллельны и имеют одно направление, а длины их находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков.
Свойство 4:
Проекции отрезков двух скрещивающихся прямых линий в зависимости от направления проецирования могут или пресекаться, или быть параллельными.
Свойство 5:
При прямоугольном проецировании прямой угол между отрезками прямых проецируется без искажения(прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна к ней.
Во-вторых, чертеж должен быть наглядным, т. е. дающим пространственное представление об оригинале. С этой целью на изображении помимо очертания рассматриваются видимые и невидимые линии. Сравните восприятие рис. 6 и 7.
Наконец, чертеж должен быть легко выполним циркулем и линейкой, его построение должно удовлетворять аксиомам конструктивной геометрии. Однако разделы Геометрические построения на плоскости и Методы изображений так далеко стоят друг от друга, что при изучении одного мы совершенно забываем об изученном ранее другом. [5]
1.3. Изображение плоских фигур в параллельной проекции
При изображении плоских фигур в параллельной проекции применяются следующие теоремы.
Теорема 1.
Изображением является любой треугольник АВС.
Теорема 2.
Если дано изображение на плоскости П, то можно построить изображение любой точки. [2]
Исходя из теорем 1 и 2, легко построить изображения любых плоских фигур; в частности, изображением параллелограмма (квадрата, ромба, прямоугольника) является любой параллелограмм. Изображением трапеции является трапеция с тем же отношением длин оснований. Изображением окружности является эллипс, изображением перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса.
Ввиду того, что при изображении сферы, цилиндра, конуса необходимо уметь строить изображение окружности, я остановлюсь немного подробнее на способах построения эллипса.
Способ I. Построение эллипса по двум главным диаметрам АВ и CД (рис. 8).
1. АВ ? СД = О, О- середина отрезка АВ
2. W1 (0, ОС), . W2 (0, ОА) - окружности
3.
4. М1€ l ,М2 € l ? W2.
5. l1 || 0В, М1€ l1 , l2 || ОС, М2 € l2
6. М€ l1? l2 , М - искомая точка эллипса.
Доказательство правильности построения легко провести, введя систему координат O (0;0), В(а; 0), С(0; b) и рассматривая параметр t - угол между осью Ох и прямой l.
Способ П. Построение эллипса по двум сопряженным диаметрам, используя перспективно аффинные преобразования плоскости (рис. 9).
Пусть АВ и CD- два сопряженных диаметра эллипса. Я построю на диаметре АВ окружность и проведу диаметр С1D1 ей перпендикулярный. Применяю перспективно аффинное преобразование, заданное осью АВ и парой соответствующих точек С1 > С (или D1> D). Тогда образом окружности будет эллипс.
Собственно построение.
1. АВ, CD, О - середина отрезков АВ и СD.
2. W (O, ОА) - окружность.
3. OD1 + AB, C1 € W, D1 € W
4.
5. С1 М1 ? АВ=Мо
6. СМо.
7. l || С1С, М1 € l
8. СМо ? l = М - искомая точка эллипса.
Можно значительно упростить построение образа точки М1, используя подобие треугольников ОСС1 и ОММ1 (ОМ1 || ОС1, ММ1 || СС1 и ОМ || ОС). Существует много других способов построения эллипса. [2]
1.4 Задание многогранников.
Геометрическими элементами многогранников являются вершины, ребра, грани и для многогранников-тел - пространство внутри многогранника. Все элементы можно представить в виде структурированного массива точек.
Совокупность всех граней называется поверхностью многогранника. Поверхность
многогранника задана, если есть алгоритм, с помощью которого можно определить на ней точку. Если точка принадлежит многограннику, то она располагается либо на ребре, либо на грани, либо внутри многогранника. Задание точки на ребре выполняется так же, как построение точки на прямой. Построение точки на поверхности грани - как построение точки в плоскости. Точка принадлежит внутренней части многогранника, если она принадлежит какому-либо сечению этого многогранника. Часто многогранники задаются графически, поэтому и приходится выполнять построения элементов принадлежащих им (точки-вершины, отрезки-грани, плоские сечения). В случае, когда многогранник задан как тело, основная трудность таких построений состоит в том, что ребра, грани, сечения на проекциях могут оказаться невидимыми (в системе 3-D студия есть возможность моделировать прозрачные поверхности и там этой проблемы нет). Однако, если многогранник задан, как поверхность, в состоянии "поверхность" можно визуализировать сетку поверхности и все построения выполнять относительно ее.[3]
1.5. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции
При изображении пространственных фигур в паралле