Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ожно описать двумерной случайной величиной , изменение во времени которой образует двумерный процесс .
Случайная величина описывает состояние обслуживающего канала в момент времени t и принимает три значения:
величина показывает число заявок в ИПВ в момент времени t .
Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы в произвольный момент времени t в состояние за бесконечно малый интервал времени .
1. Пусть система находится в состоянии , то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал времени состояние системы может измениться таким образом:
а) с вероятностью из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени будет находиться в состоянии ;
б) с вероятностью к прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система перейдет в состояние ;
в) с вероятностью состояние системы не изменится.
2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии , то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i требований, за интервал времени возможны следующие переходы:
а) с вероятностью прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени система будет находиться в состоянии ;
б) с вероятностью в систему поступит новое требование из входящего потока, произойдет конфликт. Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние ;
в) с вероятностью к прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно,
система в момент времени будет находиться в состоянии ;
г) с вероятностью состояние системы не изменится.
3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии . Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины :
а) с вероятностью к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени система будет в состоянии ;
б) с вероятностью интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние ;
в) с вероятностью состояние системы не изменится.
Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости .
Процесс является марковским, распределение которого
в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений
(4.1)
4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети
Систему уравнений (4.1) будем решать асимптотическим методом марковизируемых систем [7] при .
Первое приближение
В системе уравнений (4.1) сделаем следующие замены переменных: . В результате такой замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной . В новых обозначениях система (4.1) примет вид
(4.2)
Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап. Устремим к нулю и обозначим . Тогда система (4.2) перейдет в систему
(4.3)
решение которой имеет вид
(4.4)
где асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного числа заявок в ИПВ.
Осталось найти вид функции , для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап. В системе (4.2) все функции с аргументом разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим
(4.5)
Сложив все уравнения системы, будем иметь
(4.6)
В полученном равенстве поделим левую и правую части на и , прейдем к такому равенству
(4.7)
Подставим в (4.7) функции в форме (4.4) и получим
(4.8)
следовательно
(4.9)
где С некоторая постоянная.
Необходимо найти константу C. Нетрудно заметить, что при х=0 выражение в фигурных скобках не положительно, следовательно , а при х=1 . Итак, . Таким образом, произведение двух функций равно нулю, следовательно, может принимать какое-либо ненулевое значение лишь в тех точках, в которых выражение в скобках равно нулю.
Получим функцию , везде равную нулю, за исключением точек, являющихся корнями уравнения
после преобразований это выражение принимает вид
(4.10)
Так как плотность распределения вероятностей, то должно выполняться условие нормировки . Этим условиям удовлетворяет лишь функция вида
,
где корни уравнения (4.10), n число корней, .
Если уравнение (4.10) имеет единственный корень , то эту точку назовем точкой стабилизации, потому что она является модой распределения вероятностей нормированного процесса заявок в ИПВ , и в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения этого процесса. В этом случае назовем сеть моностабильной.
Второе приближение
Пусть уравнение (4.10) имеет единственный корень , то есть плотность распределения исследуемой сети сосредоточена около точки . Найдем плотность распределения отклонения от этой точки. Для этого в системе (4.1) сделаем замену переменных:, , .
В новых обозначениях система (4.1) примет вид
(4.11)
Систему (4.11) будем решать в три этапа.
1 этап. Устремим к нулю и обозначим , тогда система (4.11) перейдет в систему
(4.12)
решение которой имеет вид
(4.13)
где , плотность распределения нормированной величины отклонения процесса от значения корня уравнения (4.10).
Найдем вид функции .
2 этап. Неизвестные функции будем искать в форме
(4.14)
где (4.15)
асимптотическая вероятн