Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
µмые и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно функций вида
,
, (3.14)
Система (3.14) будет иметь решение, если . Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что . Таким образом, можно сделать вывод, что система (3.14) разрешима. При условии, что функция известна, решение системы (3.14) можно записать так
(3.15)
Перейдем к третьему этапу.
3 этап. С точностью до уравнения (3.10) запишем следующим образом
(3.16)
Теперь подставляем в систему уравнений (3.16) в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения
(3.17)
В полученное равенство подставим выражения для функции и , найденные на втором этапе. В результате приведения подобных, для получим уравнение Фоккера-Планка
(3.18)
с коэффициентом переноса и коэффициентом диффузии
Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса , плотность распределения вероятностей которого .
Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для в общей форме
, (3.19)
где - винеровский процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае оно приобретает вид
. (3.20)
Введем новый случайный процесс , (3.21)
для его приращения справедливо
Выберем функцию так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению . Например, . Тогда и, следовательно, .
Выразим из (3.21) функцию (заметим, что ) и получим
(3.22)
Анализируя вид процесса можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем и , которые полностью определяют вид плотности распределения . Учитывая свойства винеровского процесса, получим
(3.23)
Найдем дисперсию.
рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение , тогда получим
С учетом того, что будем иметь
Тогда в окончательном варианте дисперсия равна
(3.24)
Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид
(3.25)
Пусть , где - точка покоя дифференциального уравнения , которая определяется конечным уравнением
,(3.26)
где .
Возможны три варианта:
1. , тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).
2. , тогда существует одна точка покоя .
3. , тогда существует две точки покоя и .
Для примера рассмотрим случай, когда (рис. 3.6). Тогда уравнение (3.26) имеет единственный корень . Коэффициенты диффузии уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны . Если взять , то уравнение (3.26) будет иметь два корня и (рис. 3.7). Для первой точки коэффициенты диффузии равны , для второй . Точка является нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в стационарном режиме, то в окрестности точки распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет вид
,(3.27)
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Рис. 3.7
4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом случайного множественного доступа для конечного числа станций
Рассматривается сеть связи, состоящая из конечного числа малых абонентских станций, центральной станции и спутника ретранслятора. Спутник, приняв сообщение от периферийной станции передает его на центральную. Так как спутниковый канал связи совместно используют все станции, то возможно совпадение времени ретрансляции сообщений, при этом сообщения искажаются (попадают в конфликт) и требуют повторной передачи. Архитектура подобных сетей связи позволяет реализовать протоколы случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, в которых для избежания искажения других сообщений, центральной станцией рассылается сигнал оповещения о конфликте. Сообщения, попавшие в конфликт, должны будут переданы абонентскими станциями повторно после случайной задержки для избежания повторных конфликтов.
Математической моделью рассматриваемой сети связи может служить однолинейная система массового обслуживания, на вход которой поступает примитивный поток неповторных требований с параметром , где N число периферийных абонентских станций сети, i число тех АС, которые либо передают свои сообщения, либо осуществляют их случайную задержку для повторной передачи, , если обслуживающий канал (спутник) свободен, , если обслуживающий канал осуществляет успешную передачу.
Каждое требование в момент поступления в систему встает на прибор и начинает обслуживаться. Отправив заявку на обслуживание, АС не генерирует других заявок до тех пор, пока отправленная заявка не обслужится успешно. Обслуживание экспоненциальное с параметром . Если за время обслуживания какого-либо требования другие заявки не поступали в систему, то исходное требование считается успешно обслуженным и покидает систему. В противном случае, т.е. когда одновременно обслуживались два или более требований, происходит конфликт. Продолжительность этапа оповещения о конфликте распределена по экспоненциальному закону с параметром . Заявки, попавшие в конфликт, переходят в ИПВ, откуда пытаются встать на обслуживание вновь через экспоненциально (с параметром ) распределенную задержку. Структура такой СМО имеет вид рис. 4.1.
Рис. 4.1 Модель системы массового обслуживания
Состояние исследуемой сети связи м