Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?в от асимптотического среднего.
2 этап. Функции будем искать с точностью до в форме
(2.14)
Найдем вид функций , и . Для этого в системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом разложим в ряд по приращению аргумента , ограничимся слагаемыми порядка . Получим
(2.15)
В уравнения (2.15) подставим в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно вида
,
, (2.16)
Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений (2.16)существовало, необходимо выполнение равенства
(2.17)
Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9) мы знаем, что . Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии, что функция известна, решение можно записать в виде
,
(2.18)
Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию . Перейдем к третьему этапу.
3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим
(2.19)
Теперь подставим в уравнения (2.19) в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь
(2.20)
Подставляя вместо и их выражения, полученные на втором этапе получим для уравнение Фоккера-Планка
, (2.21)
где
Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8] является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией
. (2.22)
3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки
Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна . Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.
Рис. 3.1 Модель системы массового обслуживания
Вероятности переходов из состояния системы в произвольный момент времени t в состояние за бесконечно малый интервал времени показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.
Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения процесса , описывающего функционирование сети
(3.1)
где
Рис. 3.2 Возможные переходы из состояния
Рис. 3.3 Возможные переходы из состояния
Рис. 3.4 Возможные переходы из состояния
Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при .
Первое приближение
Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных . В результате замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной .
В новых обозначениях . Тогда система (3.1) примет вид
(3.2)
Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап. Считая и предполагая, что , будем иметь
(3.3)
.
Выразим через функцию и получим
(3.4)
где - асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов.
Обозначим
(3.5)
Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства
(3.6)
.
Осталось найти вид функции . Для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим систему
(3.7)
Просуммируем полученные уравнения, поделим на и перейдем . Тогда будем иметь
. (3.8)
С учетом того, что
равенство (3.8) принимает вид
. (3.9)
Таким образом мы получили, что удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным , и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод, что , то есть зависит от времени и имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения нормированного процесса .
Второе приближение
Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений отклонения от его среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену переменных , , ,.
В новых обозначениях производная равна .
Будем иметь
(3.10)
Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три этапа.
1 этап. В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим и найдем решение в виде
(3.11)
где асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего.
Перейдем ко второму этапу.
2 этап. Неизвестные функции будем искать с точностью до форме
(3.12)
где имеют вид аналогичный (3.5), где в качестве выступает и для них справедливы равенства (3.7).
Найдем вид функций .
С точностью до (3.10) запишем
(3.13)
В уравнения (3.13) подставим в форме (3.12), уничтожим подобные слага?/p>