Разработка математических моделей решения задач
Контрольная работа - Менеджмент
Другие контрольные работы по предмету Менеджмент
049718121171
Лабораторная работа №6
Тема: Метод наименьших квадратов
Цель работы: ознакомление с производственными функциями и методом наименьших квадратов.
Методы работы: линейная функция, квадратичная функция, экспонента.
Содержание работы:
Для заданных значений производственной функции найдем наилучшую линейную модель .
Таблица 1. Исходные данные
i12345678910Y (i) 51020506080100130170250
Составим матрицу плана
х11x21хn1
Х п =
Найдем определитель
Хi = y + Eii = kx i+ b + Ei
(S Ei2/n) 1/2 min(k,b) = (yi - yi mod) 2= (yi - kxi - b) 2
(xT * x) = xi2 xi
xi 1= Dk/D = Db/D
Подставим в формулы табличные значения.
Табл. результатов
kbse24,51515 -47,333325,44751
Для заданных значений производственной функции найдем наилучшую квадратичную модель . Определим остаточную сумму квадратов se между найденной моделью и исходными значениями.
Матрица плана
i= axi2+bxi+c+Ei
(S Ei2/n) 1/2 min(a,b,c) = S (yi - axi2 - bxi-c) 2
DF/DA=0 Df/DA= S (yi - axi2 - bxi-c) * (-xi2) =0/DB=0 DF/DB=S (yi - axi2 - bxi-c) * (-xi) =0/DC=0DF/DC=S (yi - axi2 - bxi-c) * (-1) =0
Syixi2+aSxi4+bSxi3+cSxi2=0
Syixi+aSxi3+bSxi2+cSxi=0
Syi+aSxi2+bSxi+cS1=0
=Da/D, b=Db/D, c=Dc/D
Подставим табличные значения.
Таблица 4 Результаты
abcse0,393262 3,2909030,005990,32221
Вывод: Сравнивая две модели, линейный и квадратичный графики, видно, что линейная модель лучше, у нее меньше остаточная сумма квадратов.
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Для выяснения тех или иных причинно-следственных связей в природе необходимо вести одновременные наблюдения над целым рядом случайных величин, чтобы по полученным данным изучать взаимоотношения этих величин. При каждом испытании основные факторы одинаковы для всех наблюдаемых величин, однако случайные факторы для каждой величины могут быть свои. В силу этого, зависимость между случайными величинами оказываются сильно "завуалированными" влиянием "своих" случайных факторов, и их выяснение возможно лишь методами математической статистики.
Для упрощения ограничимся случаем, когда одновременно наблюдаются две случайные величины. В дальнейшем, зависимости между большим числом величин можно изучать, объединяя их попарно.
В математическом анализе зависимость между двумя величинами выражается понятием функции y=f (x), где каждому допустимому значению одной переменной соответствует одно и только одно значение другой переменной. Такая зависимость носит название функциональной; она обнаруживается с помощью строгих логических доказательств и не нуждается в опытной проверке. Если y=const при изменении х, то говорят что у не зависит от х. Так например, угол правильного многоугольника зависит от числа сторон, но не зависит от их длины.
Гораздо сложнее обстоит дело с понятием зависимости случайных величин: Если при изменении х изменилось у, мы не можем сразу сказать, является ли это изменение результатом зависимости от х или оно обязано лишь влиянию случайных факторов. Правда и между случайными величинами может существовать строгая функциональная зависимость, устанавливаемая логическим путем. Например, число мужчин x и число женщин h на 100 человек населения являются случайными величинами, однако всегда x+h=1000. Подобного рода зависимость между случайными величинами обычно известна из теоретических соображений заранее, до всяких наблюдений. На практике она проявляется в том случае, когда для вычисления двух случайных величин используются одни и те же наблюдения. Если же для вычисления каждой из случайных величин используются свои наблюдения, то на эти случайные величины действуют разные случайные факторы, и функциональная зависимость между ними уже невозможна. Попробуйте, например, отдельно измерять сторону а и площадь S квадрата и вы сами убедитесь, что не всегда S = a2.
Как правило, между случайными величинами может существовать лишь связь особого рода, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой - такая связь называется стохастической. Изменение случайной величины h, соответствующее изменению величины x, разбивается при этом на две компоненты: стохастическую (связанную с зависимостью h от x) и случайную (связанную с влиянием "собственных" случайных факторов величин. Если первая компонента отсутствует, то величины h и x независимы. Если же стохастическая компонента не равна нулю, то между h и x есть стохастическая связь. При этом соотношение между стохастической и случайной компонентами определяет силу связи. Наконец, отсутствие второй компоненты дает функциональную зависимость.
Выявление стохастической связи и оценка ее силы представляют важную и трудную задачу математической статистики. Существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. Важнейшим из них является коэффициент корреляции.
При изучении свойств дисперсии мы уже отмечали, что дисперсия суммы двух независимых величин, равна сумме дисперсий этих величин. Поэтому если для двух случайных величин окажется, что , то это служит признаком наличия зависимости между величинами h и x. Таким образом сравнивая дисперсию суммы с суммой дисперсий , мы получаем первый критерий стохастической связи между h и x.
Из свойств дисперсии и математического ожидания имеем
=
Но а
Поэтому
Следовательно, зависимость между x и h вытекает из неравенства: