Разностные уравнения и их применение в экономике
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
План
Введение
Глава 1. Разностные уравнения
1. Основные понятия и примеры разностных уравнений
2. Решение разностных уравнений
Глава 2. Применение аппарата разностных уравнений в экономической сфере
1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
2. Модель рынка с запаздыванием сбыта
3. Рыночная модель с запасами
4. Динамическая модель Леонтьева
Выводы
Литература
Введение
В последние десятилетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.
Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.
Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и второго порядка и их применение в экономике.
При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.
Глава 1. Разностные уравнения
1. Основные понятия и примеры разностных уравнений
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.
Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.
Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.
Уравнение
(1)
где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение
(2)
В котором =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию , которая обращает это уравнение в верное тождество.
Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и , то решением будет также функция
где и - произвольные постоянные.
Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция
- произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида
где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.
Есть матрица размера nn.
Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.
2. Решение разностных уравнений
Решение разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
f(t). (3)
Соответствующее однородное уравнение есть
0. (4)
Проверим, будет ли функция
решением уравнения (3).
Имеем
Подставляя в уравнение (4), получаем
Следовательно, есть решение уравнения (4).
Общее решение уравнения (4) есть функция
где C - произвольная постоянная.
Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция
Найдем частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c - некоторая переменная.
Будем искать решение в виде постоянной m. Имеем
,
Подставив эти постоянные в уравнение
получаем
откуда
Следовательно, общее решение разностного уравнения
Есть
.
Пример1. Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.
Решение. Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение
где C - некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.
Если принять , то C=A, откуда
Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.
Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка
(5)
и соответствующее однородное уравнение
(6)
Если k является корнем уравнения
(7)