Разностные уравнения и их применение в экономике
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
>есть решение однородного уравнения (6).
Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем
Таким образом, если k - корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и , а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид:
Общее решение неоднородного уравнения (5) таково:
где - частное решение неоднородного уравнения (5), а и - произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например y(0)=, y(1)=.
Пример 2. Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
7,
удовлетворяющего начальным условиям
Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разностного уравнения таково:
Корни уравнения , действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция
Предположим далее, что c есть частное решение неоднородного уравнения, тогда
Откуда
Таким образом, общее решение заданного неоднородного уравнения есть функция
Постоянные и определяем по начальным условиям
Для t=0 и t=1 соответственно получаем
Решая систему уравнений
Находим
Поэтому в итоге имеем
Глава 2. Применение аппарата разностных уравнений в экономической сфере
1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
В экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.
Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления запаздывает от роста национального дохода , т.е. что
(1)
где - предельная склонность к потреблению при увеличении текущего дохода на единицу ( ), а - автономное потребление.
Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а в предшествующем периоде:
(2)
Здесь - коэффициент, именуемый акселератом.
Условие равенства спроса и предложения имеет вид
(3)
Подставляя в (3) выражение для из (1), из (2), находим:
(4)
Уравнение (4) называется уравнением Хикса. Пусть величины , и постоянны. Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
В реальной экономике , а . При таких значениях предельной склонности к потреблению и акселератора решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется быстрым убыванием, убывание - возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).
Поясним это на числовом примере.
Пример (уравнение Хикса). Предположим, что , , . Тогда уравнение Хикса имеет вид
(5)
Найдем частное решение. Положив и подставив в (5) получим
,
Частное решение . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.
Корни характеристического уравнения
равны .
Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида
И ,
где .
После округления получим и .
Рис.1 Модель Самуэльсона-Хикса
Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция
График этой функции при и изображен на рис.1,а.
Из последнего примера наглядно видно, что решение уравнения Хикса очень быстро принимает неправдоподобные значения. В действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не происходит. Размер национального дохода не может превышать величину национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис.1,б. Они имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.
2. Модель рынка с запаздыванием сбыта
Опишем еще одну модель, учитывающую запаздывание во времени. Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке.
В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты расс?/p>