Разностные уравнения и их применение в экономике
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?отрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:
.(1)
Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара: , откуда с учетом (1) имеем
или .
Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:
.(2)
Пусть тогда .
Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (2) удобно искать в виде постоянной величины:
; .
После подстановки в это уравнение оно легко определяется:
.(3)
Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (2) определяется формулой
,(4)
где - произвольная величина.
Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (4) находим
или ,
так что в окончательном виде получаем
или .(5)
Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи и формул (1) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта:
1), - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее. Такие колебания с нарастающей амплитудой называются взрывными;
), - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;
) - две точки равновесия: в зависимости от четности t имеет место колебание от одной точки к другой. В этой ситуации говорят, что цена совершает регулярные или циклические колебания около равновесного уровня.
а
б
в
0 1 2 3 4
Рис. 2.
Недостатки этой модели достаточно очевидны. Во-первых, расходящиеся и циклические колебания на практике на наблюдаются, поскольку производители учатся на своих ошибках: рано или поздно они заметят, что их ожидания, основанные на сохранении цены прошлого периода, не оправдываются и они изменят процедуру определения ожидаемой цены. Например, производители могут определять предложение товара, исходя из средневзвешенных цен нескольких предшествующих периодов. Во-вторых, в модели не учтено воздействие совокупного поведения всех производителей. Представим себе, например, что речь идет о рынке картофеля и пусть в какой-то год его предложение было сравнительно небольшим, а цена - высокой. Тогда можно предположить, что отдельный фермер в этой ситуации будет расширять посадки картофеля, ожидая, что его высокая цена сохранится. Однако, если все фермеры поступят таким образом, то на следующий год под влиянием возросшего предложения цена картофеля снизится.
Наконец, совсем не обязательно исходить из предположения гибкости цены данного товара и совпадения спроса с предложением в каждом периоде. Изменение цены может происходить и в неравновесной ситуации под влиянием избыточного спроса.
3. Рыночная модель с запасами
В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения.
. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены :
.(1)
. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает):
.(2)
Подстановка соотношений (1) в (2) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :
или
.(3)
Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (3) удобно искать в виде постоянной величины:
.
Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения (3) Общее решение уравнения (2) определяется формулой
.
Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид
или .(4)
Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в (4) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:
), откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ;
), откуда , т.е. ;
), откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;
), т.е. - две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена перескакивает с одного значения на другое;
), т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний.
а
б
в
г
д
0 1 2 3 4
Рис. 3.
4. Динамическая модель Леонтьева
разностный уравнение динамический рынок
Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал и одномоментными. В реальности продукт, предназначенный для внутрен?/p>