Программный продукт, осуществляющий решение задач по дисциплине "Численные методы"
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
ни. Вычислив интеграл по указанной формуле с учетом (37) получим:
Эта формула применяема к любой (интегрируемой) функции и называется квадратурной формулой Гаусса. Разумеется, для функции, не являющейся многочленом не старше 3 - й степени, эта формула дает лишь приближенные значения интеграла, но интуитивно ясно, что значение ближе к истинному, чем то, которое дает формула трапеций, также исходящая из интегрирования вспомогательной линейной функции вместо исходной.
Воспользовавшись формулой (35), можно для удобства использования записать формулу Гаусса применительно к исходному виду интеграла:
(38)
Оценку погрешности вычисления интеграла приведем без вывода:
Разумеется, для повышения точности вычисления интеграла по методу Гаусса отрезок [a; b] можно так же, как это делалось в предыдущих методах, разделить на несколько (n) частей и применять формулу (38) к каждому из них. Получим практически используемые формулы для вычисления интеграла и оценки погрешности
.
1.9 Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
Пусть дано уравнение с начальным условием (т.е. поставлена задача Коши). Вначале найдем простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке, где h достаточно малый шаг.
Заметим, что уравнение совместно с начальным условием задают направление касательной к искомой интегральной кривой в точке . Двигаясь вдоль этой касательной (рис. 7), получим приближенное значение решения в точке х1:
.(39)
Располагая приближенным решением в точке , можно повторить описанную выше процедуру: построить прямую, проходящую через эту точку под углом, определяемым условием , и по ней найти приближенное значение решения в точке x2 = xl + h. Заметим, что, в отличие от ситуации, изображенной на рис. 5, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам недоступна. Однако представляется интуитивно ясным, что если h достаточно мало, то получаемые приближения будут близки к точным значениям решения.
Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек . Получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:
; .(40)
Наиболее используемым эмпирическим методом оценки точности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов приближенного численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка - с шагом h и с шагом h/2. Совпадение соответствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирические основание считать их верными (хотя полной уверенности в этом быть не может).
2. Практическая часть
.1 Формуляр
1Общие сведения.
Наименование изготовителя.
Основные характеристики.
Требования к программному обеспечению:
функционирование программного продукта возможно на всех операционных системах (ОС) Windows.
Требования к аппаратному обеспечению:
минимальное разрешение 800 x 600;
15 Mб свободного места на жестком диске
3Комплектность.
В состав программного изделия входят: программа (каталог с набором файлов), дистрибутив приложения и документация.
Область применения.
Программный продукт представляет собой приложение, предназначенное решения задач по дисциплине численные методы.
Функциональные возможности программного продукта
Разработанный программный продукт может выполнять следующие функции:
1.нахождение корней систем линейных алгебраических уравнений;
2.нахождение определителей матриц;
.нахождение обратных матриц;
.вычисление определенных интегралов;
.решение дифференциальных уравнений;
.уточнение корней уравнений на определенных интервалах;
2.2 Описание главной формы программного продукта
Главная форма программного продукта (Рис. 6) запускается после заставки. На главной форме находится главное меню, в котором пользователь может выбрать команду вызова одного из методов решения той или иной задачи, а также команды вызова окна настройки пароля, окна регистрации (если программный продукт не зарегистрирован), окна справки, окна О программе и выхода из программы. Так же главная форма отображает текущую дату и время.
.3 Обоснование выбора способа внешнего управления продуктом
В качестве внешнего управления программным продуктом был выбран усовершенствованный проблемно-ориентированный способ, когда в процессе диалога выявляются необходимые для решения данные. В случае недостижимости цели решения (получение ответа), пользователю сообщается о причинах и вычислительный процесс прерывается. То есть предполагается ввод известной пользователю информации по частям, а последовательность расчетов формируется автоматически, что обеспечивает усовершенствованный проблемно-ориентированный способ внешнего управления.
.4 Определение функций обслуживающих и управляющих модулей
Поскольку приемы визуального событийно-управляемого программирования, используемые в Delphi, предполагают широкое использование объектов (форм, меню, элементов управления), функциями обслуживающих модулей програм