Программный продукт, осуществляющий решение задач по дисциплине "Численные методы"
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
троим вторые, третьи и т.д. итерации.
Таким образом, предполагая, что k-е приближения известны, методом Зейделя строим (k+1)-е приближения по следующим формулам:
,
,
…………………………………...
,
где k = 0, 1, 2,…, n.
1.5 Метод Итераций
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
(8)
Запишем систему (8) в матричном виде:
,(9)
Где
, , .
Предполагая, что диагональные элементы (i = 1, 2, …, n), выразим через первое уравнение системы, - через второе уравнение и т.д. В результате получим систему, эквивалентную системе (8):
(10)
Обозначим , где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n. Тогда система (10) запишется таким образом:
(11)
Система (11) называется системой, приведенной к нормальному виду. Введя обозначения
, .
Запишем систему (11) в матричной форме:
,
или
.(12)Решим систему (12) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов:
- нулевое приближение.
Далее построим матрицы-столбцы:
- первое приближение;
- второе приближение
и т.д.
Вообще, любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле:
(k = 0, 1, …, n).(13)
Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы (10), поскольку в силу свойства предела , т.е. .
1.6 Обращение матрицы с помощью схемы Гаусса
Пусть дана неособенная матрица (). Для нахождения обратной матрицы используется основное соотношение , где - единичная матрица n-го порядка.
Так, для матрицы четвертого порядка, умножив
,
получим 4 системы уравнений относительно 16 неизвестных .
В общем случае имеют место соотношения
,
где
называется символом Кронекера.
Полученные n систем линейных уравнений для имеют одну и ту же матрицу и различные свободные члены, составляющие единичную матрицу. Поэтому эти системы можно решать по схеме Гаусса.
Решения , найденные по схеме единственного деления, и будут элементами обратной матрицы .
.7 Вычисление определителей с помощью схемы Гаусса
Метод Гаусса может быть использован при вычислении определителей:
,
где - ведущие элементы схемы единственного деления.
Вычисление определителя может представлять самостоятельный интерес, поскольку такая задача нередко встречается в вычислительной математике.
.8 Формула Гаусса
Традиционно при получении квадратурных формул Гаусса в исходном интеграле выполняется замена переменной, переводящая интеграл по отрезку [a; b] в интеграл по отрезку [-1; 1]:
или
Тогда
(35)
и можно далее, не теряя общности развивать метод Гаусса применительно к интегралу вида
Для разъяснения метода Гаусса обратимся к (рис. 4) Будем использовать линейную интерполяцию подынтегральной функции.
Рисунок 4 - Иллюстрация подходов к построению квадратурных формул:
a - фиксированные узлы линейной интерполяции подынтегральной функции (метод трапеций); погрешность интерполирования характеризуется величиной площади S; b - подвижные узлы в интерполировании (метод Гаусса); величина погрешности зависит от степени несовпадения площадей S1 + S3 и S2Если в качестве узлов интерполяции взять концы отрезка [-1; 1] (так делалось для получения формулы трапеций), то различие в площадях криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , и обычной трапеции, ограниченной сверху прямой, проведенной через концы указанной кривой, фиксировано видом функции (рис. 6, a). Однако если сделать узлы интерполяции подвижными (рис. 4, b), то можно выбрать их таким образом, чтобы разность между площадями криволинейной и обычной трапеции была значительно меньше, чем в случае а. Более того, можно сделать эти площади равными (S1 + S3 = S2), т.е. аппроксимировать интеграл точно, но в уравнения для определения t1и t2 войдет точное значение интеграла, т.е. практической пользы такой прием не принесет.
Вместо этого сформулируем задачу следующим образом: выбрать значения t1и t2 так, чтобы площадь трапеции, ограниченной сверху прямой, проходящей через точки A1(t1, ?(t1)) и A2(t2, ?(t2)), была равна интегралу от любого многочлена некоторой (наивысшей возможной) степени. Поскольку положение точек A1 и A2 определяют четыре координаты, то этот многочлен может определяться максимум четырьмя коэффициентами, т.е. являются многочленом 3 - й степени
Легко установить, что уравнение прямой проходящей через точки имеет вид:
где , . Таким образом, возникает следующая техническая задача: выбрать t1и t2 так, чтобы равенство
(36)
имело место при любых значениях a0, a1, a2, a3.
Для ее решения вычислим интегралы в (36):
Подставим в это равенство и :
Перегруппируем слагаемые в левой части равенства
Для того чтобы последнее равенство выполнилось при любых значениях a0, a1, a2, a3, необходимо и достаточно, чтобы
Отсюда следует одно из двух решений
) и 2)
отличающихся лишь нумерацией значений t2, t2.
Итак, если взять узлами линейной интерполяции числа
,(37)
то интеграл, вычисленный по формуле
точно совпадает с интегралом от любого многочлена 3 - й степе