Применение методов математической экономики к решению практических задач
Курсовой проект - Экономика
Другие курсовые по предмету Экономика
0,19 0,67 0,85
F = D - A = 0,35 0,44 0,5 - 0,44 0,24 0,46 =
0,33 1,12 0,45 0,29 1,11 0,37
0.28 0.14 0.12
= 0.09 0.20 0.04
0.04 0.01 0.08
Полученную матрицу умножаем на 100% и получается погрешность от 1% до 28%.
2.2 Решение задач определенной области валовой продукции по заданной конечности
потребитель балансовый затрата маршрут
Объем валовой продукции , i=1,2,…, n по заданной конечности продукции может быть определен по одной из формул
i=1,2,…,n (10)
i=1,2,…,n (11)
В первом случае расчет основывается на коэффициенте прямых затрат , i=1,2,…, j=1,2,…,n и сводится к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. При большом числе отраслей этот способ предполагает применения специальных методов. Если в задние по конечной продукции необходимо внести изменения, то расчет валовой продукции требует пересчета, сводящего к решению системы n уравнений.
Использование для расчета второй формулы более удобно, каждое уравнения системы решается достаточно просто и независимо от других. Изменение, которые необходимо внести в задание по конечной продукции сводится к следующему: достаточно добавить или вычесть определенные величины. Применение для расчетов второй формулы требует знания коэффициентов полных затрат, которые определяются из решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Поэтому для практических расчетов, если просчитывается один или всего несколько вариантов, рационально пользоваться первым соотношением, если же расчет производится для нескольких вариантов конечной продукции с последующими неоднократными изменениями, то целесообразно рассчитать один раз коэффициенты полных затрат, а варианты просчитать по второй формуле.
Для решения системы алгебраических уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов используют такие методы, как метод исключения Гаусса, метод полного исключения Жордана-Гаусса, метод Зейделя, метод простых итераций.
2.2.1 Теоретические основы метода
Пусть дана система уравнений вида:
В качестве начального (нулевого) приближения выбирается вектор свободных членов
То есть
Каждая последующая итерация базируется на результатах предыдущей.
Для k-ой итерации имеем:
По данным формулам можно получить решение с любой точностью, при условии, что итерационный процесс сходится.
Достаточный признак сходимости итерационного процесса: если максимальная сумма абсолютных величин коэффициентов в первой части уравнений меньше единицы, то процесс сходится, то есть
Метод простых итераций является приближенным методом. Критерием остановки вычислительного процесса может служит например, условие.
i=1,2,…,n
Где E - наперед заданное число, характеризующие требуемую точность вычислений.
Пример: Три отрасли: промышленность, сельское хозяйство и прочие отрасли составляют основу межотраслевого баланса. На плановый период задана матрица прямых затрат А и вектор конечной продукции Y:
0,45 0,25 0,2 24
А = 0,2 0,12 0,03 Y = 18
0,15 0,05 0,08 6
Рассчитать плановые объемы валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей с точностью Е = 0,1. Результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Для расчета валовой продукции составим систему уравнений:
Х1 = 0,45*Х1 + 0,25*Х2 + 0,2*Х3 + 24,
Х2 = 0,2*Х1 + 0,12*Х2 + 0,03*Х3 + 18,
Х3 = 0,15*Х1 + 0,05*Х2 + 0,08*Х3 + 6;
Для проверки сходимости итерационного процесса составим суммы:
,45 + 0,25 + 0,2 = 0,9,
,2 + 0,12 + 0,03 = 0,35,
,15 + 0,05 + 0,08 = 0,28,
Max {0.9; 0.35; 0.28} = 0.9 < 1
По достаточному признаку итерационный процесс сходится. Определим нулевое приближение:
Х1(0) = 24,
Х2(0) = 18,
Х3(0) = 6,
Х1(1) = 0,45*Х1(0) + 0,25*Х2(0) + 0,2*Х3(0) + 24
Х2(1) = 0,2*Х1(0) + 0,12*Х2(0) + 0,03*Х3(0) + 18
Х3(1) = 0,15*Х1(0) + 0,05*Х2(0) + 0,08*Х3(0) + 6
Тогда Х1(1) = 40,5,
Х2(1) = 25,1,
Х3(1) = 20,52,
Проверим точность расчетов. Для этого вычислим величины
|Xi(1) - Xi(0)|, i = 1,2,3,
и составим их с требуемым значением Е = 0,1
i = 1, |40.52 - 24| = 16.52 > 0.1
i = 2, |25.1 - 18| = 7.9 > 0.1
i = 3, |20.52 - 6| = 14.5 > 0.1
Так как требуемая точность не достигнута, переходим ко второй итерации.
Х1(2) = 0,45*40,5 + 0,25*25,1 + 0,2*20,5 + 14 = 52,6,
Х2(2) = 0,2*40,5 + 0,12*25,1 + 0,03*20,5 + 18 = 29,73,
Х3(2) = 0,15*40,5 + 0,05*25,1 + 0,08*20,5 + 6 = 14,97.
i = 1, |52.6 - 40.52 | = 12.08 > 0.1
i = 2, |29.73 - 25.1| = 4.63 > 0.1
i = 3, |14.97 - 20.52 | = 2.55 > 0.1
Так как требуемая точность не достигнута, итерационный процесс продолжается. Отмечу, что для решения данной задачи мне потребуется выполнить тринадцать итераций, и только результаты последней тринадцатой итерации значения будут удовлетворять заданной точности. Таким образом, в результате применения метода простых итераций, получим:
Х1(13) = 67.16
Х2(13) = 36.38
Х3(13) = 19,44
За искомые значения элементов вектора Х принимают результаты тринадцатой итерации, удовлетворяющие заданной точности.
Тогда Х1(13) = 67.16;
Х2(13) = 36.38;
Х3(13) = 19,44.
Заметим, что метод итераций формально очень прост, строго цикличен, поэтому он легко программируется и реализуется. Другим его преимуществом является интересное свойство самоисправляемости: отдельные ошибки, допущенные в процессе расчетов, вообще говоря, не влияют на правильность окончательно получаемых результатов.
Для составления баланса рассчитаем также межотраслевые потоки средств производства Хij по формуле:
Xij = aij * Xij
Получим:
Х11 = 30,2 Х21 = 9,09 Х31 = 3,9
Х12 = 13,43 Х22 = 4,36 Х32 = 0,58
Х13 = 10,07 Х23 = 1,82 Х33 = 1,55
Результа?/p>