Приближенные решения дифференциальных уравнений
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Курсовая работа
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Приближенные решения дифференциальных уравнений
Введение
При анализе режимов работы электроэнергетических объектов и разработке новых технологических процессов инженеру часто приходится сталкиваться с дифференциальными уравнениями, т.к. большая часть законов электротехники и теплотехники формулируется в виде дифференциальных уравнений. При этом нередко приходится иметь дело с уравнениями, общее решение которых не выражается в квадратурах. Например, общее решение очень простого уравнения нельзя записать в конечном виде через элементарные функции. Класс задач, для которых можно найти явное решение, весьма узок. В связи с интенсивным применением дифференциальных уравнений в качестве математических моделей широкого круга естественнонаучных задач и с появлением высокопроизводительных ЭВМ важное значение приобрели численные методы их решения. Численные методы - это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения в точках конечного множества значений аргумента (узлах сетки). Решение при этом получается в виде таблицы. Рассмотрим два таких метода: метод Рунге-Кутта и вытекающий из него метод Эйлера.
Метод Рунге-Кутта. Рассматриваем задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка
(1)
решение которой находится на отрезке [x0, x0+ H], h > 0. Считаем, что задача (1) имеет единственное решение у(х), определяемое на этом отрезке. Выбираем на отрезке [х0, x0 + H] сетку значений аргумента хд= х0 + nh , n=0,1,...,N; h= h/n. Разложим решение у (х) в ряд Тейлора в окрестности точки хn, полагая при этом уn=у(хn), у`= y`(xn) и т.д.
(2)
Подставим в разложение (2) значение х = xn+1, получая равенство
(3)
Стоящие в правой части равенства (3) производные можно найти, последовательно дифференцируя уравнение (1):
(4)
так что
(5)
с учетом формул (5) равенство (3) можно записать последовательно в виде
(6)
Пренебрегая в правых частях формул (6) слагаемыми О(h2),О(h3), малыми при малых h, получаем соответственно формулы
Каждая из формул (7),(8),... позволяет по известному значению y0 решения задачи (1) в начальной точке xо последовательно вычислять приближенные значения этого решения в узлах сетки х1,х0,...,xn; в отличие от точных значений обозначим их
Формулу (8) и тем более, формулы с большим числом членов в практических расчетах не используют, так как если функция f(х,у) правой части имеет несложное выражение, то выражения (4) для ее производных могут оказаться громоздкими. Если функция f(х,у) известна лишь приближенно, то процесс вычислений по этим формулам усложняется еще и из-за необходимости использовать формулы численного, дифференцирования. Расчет приближенных значений уn задачи Коши (1) по формуле (7) называется методом Эйлера, или схемой ломаных. Геометрическая интерпретация этой схемы дана на рис.1, где изображено поле интегральных кривых.
При удалении от точки (хо,уо) ломаная Эйлера может заметно отклоняться от графика точного решения. Известна следующая оценка погрешности метода Эйлера. Пусть в D={(х,у): |х-хo |<а ; |у-уо|<b}-прямоугольник с центром в точке (xо,yo), в котором задача Коши (1) однозначно разрешима (так что проекция d на ось абсцисс содержит отрезок [xo,xo+H] ), и пусть в D выполняются неравенства
Тогда
Где С1=(1+М) (еКН-1)
При отсутствии ошибок округлений локальная погрешность метода Эйлера, т.е. погрешность на одном шаге h , возникающая за счет перемещения по касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (хn,уn), а не по самой интегральной кривой, есть величина O(h2). Глобальная погрешность или, точнее, максимальная погрешность решения на сетке {х1,x2,...,хN} в целом равна O(h), как следует из неравенства (9). В связи с этим говорят, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. С другой стороны в учебнике Краткий курс математического анализа А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, М. 1973 г этот метод описывается иначе. Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке. Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.
При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке
Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение
Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:
Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера. Можно записать общую формулу вычислений:
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчет