Приближенные решения дифференциальных уравнений
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
а.
Суть метода состоит в том, что в формуле вместо значения берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:
Затем находится значение производной в точке . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и , находят второе уточненное значение у1.
Затем третье:
и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.
Аналогичная операция производится для остальных значений у. Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата. Одним из методов, позволяющих для решения задачи Коши (1) строить вычислительные схемы более высоких порядков точности, является метод, предложенный Рунге и усовершенствованный Кутта и другими математиками. Схемы метода Рунге-Кутта удобны как, для расчетов на ЭВМ, так и для ручных расчетов.
С основной идеей метода ознакомимся на примере построения вычислительных схем второго порядка точности. Воспользуемся теперь второй из формул (6)
(10)
Покажем, что можно правильно передать члены ряда Тейлора, указанные в формуле (10), избежав дифференцирования, функция f(x,y), С этой целью полагаем
, (11)
где -некоторые постоянные По формуле Тейлора первого порядка находим
Подставляя это выражение для значения в равенство (11) получаем
(12)
Выбираем параметры так, чтобы правые части разложений (10) и (12) совпадали с точностью до слагаемых порядка О(h3). Для этого достаточно положить:
Эта система трех уравнений с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решении. Выразим через остальные параметры:
,
,
и подставим их в формулу (12), пренебрегая при этом слагаемыми О(h3). B результате
получаем однопараметрическое семейство двучленных схем
(13)
Локальная погрешность формулы (13) равна О(h3). Для максимальной погрешности на сетке выполняется оценка
где С2 - некоторая постоянная, не зависящая от h. Вычислительная схема расчета приближенных значений решения задачи Коши (1) по формуле (13) называется схемой Рунге-Кутта второго порядка точности. Эти схемы нередко используются в практических вычислениях. При этом полагают, либо , либо . В первом случае получается схема особенно простого вида
(14)
Для схема (13) имеет вид
Методом Рунге-Кутта можно строить схемы различного порядка точности. Например, схема ломаных (7) есть схема Рунге-Кутта первого порядка точности, двучленные схемы (13) имеют второй порядок точности. Наибольшее распространение получили схемы четвертого порядка точности, при построении которых в записи ряда Тейлора (2) удерживаются все члены, включая h4. Приведем без вывода ту из них, которая записана в большинстве стандартных программ для ЭВМ:
, (16)
где
,
,
,
Для схемы (16) выполняется следующая оценка погрешности: если в прямоугольнике d существуют непрерывные частные производные четвертого порядка функции f (x,у), то
Схемы Рунге-Кутта более высокого порядка точности практически не употребляются, так как расчетные формулы становятся слишком громоздкими. Одним из важных достоинств метода Рунге-Кутта является простота алгоритма вычислений. Для начала вычислений достаточно выбрать сетку {хо, х1, ..., xN} и задать начальное значение у (хо) = уо. Далее вычисления производят последовательно по одним и тем же формулам. Это свойство схем метода Рунге-Кутта очень ценно при расчетах на ЭВМ, программирование расчетных формул метода не представляет труда.
Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге
Правильный выбор шага сетки h является одним из главных практических вопросов, которые возникают при численном решении дифференциальных уравнений. Как получить требуемую точность? Если шаг выбран слишком большим, то значительной будет локальная погрешность и накопившаяся глобальная погрешность может быть недопустимо большой. Если же шаг слишком мал, то расчет потребует неоправданно много времени работы вычислителя или ЭВМ. При этом наблюдается следующий отрицательный эффект: суммарное действие ошибок округления, малых при выполнении каждой операции, может оказаться столь значительным, что полученный ответ становится бесполезным.
Априорные оценки типа (9) мало полезны для получения информации о точности вычислений ввиду их сложности (особенно для схем высокого порядка); при этом они, как правило, во много раз превосходят фактическую ошибку расчета. Основным практическим приемом является апостериорная оценка погрешности. Для ее получения проводят вычисления на двух или более сгущающихся сетках и применяют так называемое правило Рунге, которое заключается в следующем. Пусть обозначает приближенное значение решения задача Коши (1) в точке х = x(h) = xo + nh, вычисленное по некоторой схеме Рунге-Кутта p-го порядка точности, а приближенное значение для y(x), вычисленное по той же схеме и в той же точке, являющейся узлом более густой сетки с шагом h/2, так что .
При некоторых предположениях относительно гладкости функции правой части f(x,y) погрешность схемы Рунге-Кутта р-го порядка точности имеет вид
(17)
где С зависит от точки х, но не от h. Применяя формулу (17) для оценки погреш