Приближенные решения дифференциальных уравнений
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ности на сетке с шагом h/2 , получаем
18)
Сохраняем в равенствах (17) и (18) только главную часть погрешности, пренебрегая слагаемыми и , и вычитаем почленно из первого равенства второе. В итоге приходим к приближенному равенству
откуда определяем, что погрешность на сетке с меньшим шагом составляет частности, оценка (19) имеет вид:
для схемы ломаных (7)
(19 а)
для схемы (13)
(19 б)
для схемы (16)
(19в)
Информацию о погрешности вычислений в виде (19) можно использовать для того, чтобы уточнить приближенные значения на сетке с меньшим шагом, внося в них поправки следующим образом.
В точке , являющейся общим узлом двух сеток,, полагаем в соответствии о формулами (18) и (19):
дифференциальный уравнение точность погрешность
Значения поправок, в узлах с нечетными номерами m=2n-1 находим, применяя линейную интерполяцию;
Можно ожидать, что исправленные значения будут более точными, чем .
Пример практического расчета
Используя метод Эйлера, а затем схему Рунге-Кутта второго порядка точности составить таблицу приближенных значений решения задачи Коши
на отрезке [0,1] с шагом h=0,2 и h=0,1. Результат округлить до 10-4. Оценить погрешность на сетке с шагом h=0,1 по методу Рунге. Сравнить полученные результаты с результатами вычислений по схеме четвертого порядка точности на сетке с шагом h=0,1.
В таблицах 2 и 3:
,
,
,
,
По методу Эйлера (табл.1)
Таблица 1
nxnhh*f(xn, )00,00,10,10000,000010,10,10,10450,100020,20,10,10620,204530,30,10,10500,310740,40,10,10110,415650,50,10,09530,516860,60,10,08830,612170,70,10,08100,700480,80,10,07400,781490,90,10,06800,8554101,00,10,06340,9234
Таблица приближенных значений по схеме Рунге-Кутта второго порядка точности шаг h=0,2
Таблица 2
nxnh00,00,20,20000,20000,21220,20610,000010,20,20,21240,41850,20220,20730,206120,40,20,20230,61570,17640,18940,413430,60,20,17740,78020,14810,16280,602740,80,20,14950,91510,12740,13850,765551,00,20,12821,03220,11080,11950,9040
Таблица приближенных значений по схеме Рунге-Кутта второго порядка точности шаг h=0,1
Таблица 3
nxnh00,00,10,10000,10000,10450,10230,000010,10,10,10460,20690,10620,10540,102320,20,10,10620,31400,10500,10560,207730,30,10,10500,41830,10110,10300,313340,40,10,10110,51750,09530,09820,416350,50,10,09540,60990,08840,09190,514560,60,10,08860,69500,08120,08490,606570,70,10,08140,77280,07440,07790,691480,80,10,07460,84390,06850,07160,769390,90,10,06870,90950,06390,06630,8408101,00,10,06400,97110,06400,06400,9071
Оценим погрешность на сетке с шагом h=0,1 по методу Рунге. В таблице 4:
Таблица 4
nm000,00000,00000,00000,0000-1-0,10230,00030,1025120,20610,20770,00050,2082-3-0,31330,00080,3141240,41340,41630,00100,4173-5-0,51450,00110,5156360,60270,60650,00130,6078-7-0,69140,00130,6927480,76550,76930,00130,7706-9-0,84080,00110,84195100,90400,90710,00100,9081
Таблица приближенных значений по методу Рунге-Кутта четвертого порядка точности h=0,1.
Здесь
,
,
,
,
Таблица 5
nxnh00,00,11,00001,02631,02691,04610,000010,10,11,04611,05801,05811,06250,102520,20,11,06251,05951,05951,04950,208230,30,11,04951,03311,03321,01100,314140,40,11,01110,98410,98440,95360,417350,50,10,95360,92000,92060,88520,515660,60,10,88520,84890,84970,81350,607670,70,10,81350,77820,77910,74540,692680,80,10,74540,71400,71480,68610,770590,90,10,68610,66080,66130,63960,8419 101,00,10,63960,62190,62220,60870,9081
По результатам таблиц построим 4 графика yn=f(xn)
Как видно из графика более точные значения решения задачи Коши (полученные по схеме Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности с шагом h=0,1 графики 2 и 3) лежат между менее точными значениями (полученные методом Эйлера и по схеме Рунге-Кутта второго порядка точности с шагом h=0,2 графики 1 и 4)
Литература
1.Методическое указание к лабораторной работе Метод сеток. II. Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Архангельск 1985
2.Краткий курс математического анализа А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, М. 1973 г. Хемминг Р.В., Численные методы, Наука.