Похідна Фреше та похідна Гато
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що
.
22. Нехай Е нормований простір. норма диференційовна за Гато. Розглянемо функціонал . Обчислити норму функціонала .
Розвязок
З одного боку , з іншого боку . Отже, , тобто .
Розглянемо
.
Переходячи до , нерівність зберігається:
, , отже .
23. Довести, що градієнт норми є непарним оператором, тобто довести співвідношення: .
Доведення
Нехай . Розглянемо
24. Нехай , де неперервна за обома аргументами і неперервно диференційовна за другим аргументом, а неперервна функція. Знайти похідну Фреше в точці .
Розвязок
,
Відповідь:
.
25. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках:
1)
Згідно з задачею 24 , тоді
, , .
2)
Згідно з задачею 24 , тоді
, ,
3)
Згідно з задачею 24 , тоді
, ,
4)
Згідно з задачею 24 , тоді
, ,
5)
Згідно з задачею 24 , тоді
, ,
6)
Згідно з задачею 24 , тоді
, ,
26. Нехай , де неперервна за всіма аргументами і двічі неперервно диференційовна за третім аргументом. Знайти похідну Фреше в точці .
Розвязок
, ,
Відповідь:
.
27. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 26.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
28. Нехай , де неперервна за всіма аргументами і неперервно диференційовна за другим та третім аргументами. Знайти похідну Фреше в точці .
Розвязок
,
Відповідь:
29. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 28.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
30. Нехай , де неперервна за всіма аргументами й неперервно диференційовна за всіма аргументами, починаючи з другого. Знайти похідну Фреше функціонала , де нормований простір неперервно диференційовних на n-вимірних вектор функцій з нормою
, де
Розвязок
,
31. Нехай на нормованому просторі задані функціоналів, диференційовних за Фреше в деякій точці . Нехай , тобто . Знайти похідну Фреше відображення в точці , якщо .
Розвязок
,
32. Нехай задано відображення . Знайти похідну Фреше.
Розвязок
Покажемо, що
Відповідь:
.
33. Нехай задано відображення . Знайти похідну Фреше
Розвязок
Відповідь:
.
34. Нехай задано відображення . Знайти похідну Фреше
Розвязок
Позначимо
,
тоді
,
Розглянемо
,
тоді
Відповідь:
.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М., 1967.
4. Березанский Ю.М., Ус, Шефтель Функциональный анализ