Похідна Фреше та похідна Гато
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ий по функціонал і
.
Оскільки , то при . Таким чином, диференційовна в будь-якій ненульовій точці простору і
.
Нехай тепер . Тоді . Покажемо, що не існує елемента такого, що при всіх достатньо малих
,(3)
де при . Якщо б це було так, то також
, або ,(4)
де при . Але тоді з рівностей (3) та (4) випливає при , що неможливо.
Таким чином, відображення не диференційовне за Фреше в точці .
Приклад 3. Нехай і , де ядро неперервне в квадраті , функція двох змінних, визначена в полосі і неперервна в цій області. Тоді функція, визначена на і яка приймає значення в цьому ж просторі.
Припустимо, що функція не тільки неперервна, але й має частинну похідну, рівномірно неперервну в полосі .
Тоді диференційовна функція. А саме, для довільної функції маємо
За теоремою Лагранжа,
,
де
. Далі, маємо
.
При , тобто при рівномірно на , також рівномірно на , оскільки функція, неперервна в замкненій обмеженій області , рівномірно неперервна в цій області. Тому
,
де
і .
При цьому
і тому при .
Таким чином, диференційовна за Фреше і
.
Приклад 4. Якщо і границя існує, то диференційовне в точці і . Дійсно, в цьому випадку , де при , і диференційованість очевидна.
Множина відображень, визначених в околі точки , які приймають значення в просторі Y та диференційовних в точці , є лінійною системою , а також оператор диференціювання є лінійним, тобто
,
або, інакше,
.
Далі, з рівності
випливає, що функція , диференційовна в точці , неперервна в цій точці.
Обернене твердження не вірне (приклад 2).
Якщо лінійний неперервний оператор, що діє з X в Y, то для будь-якого маємо . Дійсно, тоді при всіх
,
звідки й випливає наведене твердження.
Слід зазначити, що відображення та , які мають область визначення в одному і тому просторі, діють в різні простори, а саме , а . Якщо диференційовне всюди на G, то , .
1.2 Основні теореми
Теорема 1 (про диференційовність композиції відображень). Нехай лінійні нормовані простори й задані відображення , де , відкрита множина; , де , відкрита множина. Якщо множина не порожня , відображення диференційовне в точці , а диференційовне в точці , то складне відображення диференційовне в точці і
.
Доведення. Насамперед, якщо достатньо мале, то в силу відкритості множин та й неперервності відображень і відповідно в точках та , точки і не вийдуть за границі множин та . Далі маємо
.
Оскільки диференційовне в точці , то
,
де , якщо . В свою чергу,
де , якщо . Тому
Вираз є лінійним оператором по , і залишається довести, що , якщо .
Маємо
.
Перший доданок справа прямує до нуля, оскільки , якщо . Прямування до нуля другого доданка можна довести так. Оскільки диференційовне в точці , то , якщо . Тому для будь-якого знайдеться , таке, що , якщо . В свою чергу, в силу неперервності в точці для даного знайдеться таке, що , якщо . Далі, оскільки диференційовне в точці , то знайдеться таке, що , якщо . Нехай . При маємо
,
і оскільки довільне, то це означає, що , якщо .
Теорему доведено.
Приклад 5. Розглянемо відображення , диференційоване на відкритій множині , і точки такі, що . Тоді функція , визначена рівністю
,
диференційовна на і .
Приклад 6. Нехай відображення диференційоване на і лінійний неперервний оператор. Тоді відображення, диференційовне на , і .
Наступна теорема є аналогом теореми Лагранжа про скінченні прирости дійсних функцій дійсних аргументів.
Теорема 2 (про скінченні прирости). Нехай відображення диференційовне на і відрізок цілком входить до . Тоді
.
Доведення. Розглянемо відображення , де . Це відображення неперервне на як композиція неперервних відображень та , і в силу теореми 1 диференційовне всередині , при цьому
.
Тому для будь-якого лінійного функціоналу дійсна функція дійсного аргументу неперервна на і диференційовна принаймні всередині . Тобто, за теоремою Лагранжа
. (5)
Але і
.
Тому рівність (5) набуває вигляду
.
Нехай функціонал з нормою, що дорівнює одиниці, і такий, що . Тому
.
Теорему доведено.
1.3 Похідна Гато
Для відображень лінійного нормованого простору окрім похідної Фреше можна ввести ще одне поняття похідної.
Нехай задано відображення і одиничний вектор простору , який визначає певний напрямок. Границя
,
якщо вона існує, називається похідною відображення за напрямком (або похідною Гато) і позначається .
Якщо фіксований довільний ненульовий вектор , то часто говорять про похідну за напрямком , розуміючи під цим границю відношення при умові, що вона існує; цю границю позначають . Ясно, що , де одиничний вектор напрямку , тобто .
Зауваження. Похідна Фреше і похідна за напрямком є елементами різної природи: є лінійний оператор з X в Y, в той час як є елементом простору Y.
Якщо відображення диференційовне в точці за Фреше, то воно диференційовне в цій точці за будь-яким напрямком :
.
Обернене твердже