Похідна Фреше та похідна Гато

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

/p>

ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

 

1. Довести, що похідна Фреше диференційовного в точці відображення визначається єдиним чином.

 

Доведення

Нехай , дві похідні Фреше в точці x, тоді

 

, де (1)

, де (2)

 

Розглянемо різницю (2)-(1):

 

, якщо

 

Це прямування до нуля нетривіально, тобто

 

якщо .

Тобто, похідна Фреше диференційованого відображення визначається єдиним чином.

2. Довести, що якщо оператор f диференційовний за Фреше в точці x, то f неперервний в цій точці.

 

Доведення

 

Якщо та , то .

 

3. Довести, що якщо , то (нульовий оператор).

 

Доведення.

Нехай оператор диференційовний за Фреше, тобто

 

, де

 

Нехай , тоді ( нульовий оператор)

, звідки (нульовий оператор, який діє на h).

 

4. Довести, що похідною Фреше лінійного неперервного відображення є саме це відображення.

 

Доведення.

Нехай оператор диференційований за Фреше, тобто

 

, де .

 

лінійний неперервний оператор

 

5. Нехай f, g два неперервних відображення з X в Y. Довести, що якщо f та g диференційовні за Фреше в точці x, то відображення f+g та cf, де c-const, також диференційовні в цій точці, причому

 

,

 

Доведення.

Розглянемо

 

, якщо .

Тепер

 

,

 

якщо .

6. Нехай , де дійсний гільбертів простір. Знайти похідну Фреше в точці x.

 

Розвязок.

 

Тобто, .

 

7. Знайти похідну Фреше функціонала в точці x дійсного гільбертова простору.

 

Розвязок

Нехай , . Тоді .

Розглянемо , . Тоді

 

 

Тепер

 

, де .

 

Тоді

 

, де .

8. Знайти похідну Фреше відображення .

Розвязок

Нехай

 

, .

 

Тоді

 

.

Розглянемо , . Тоді

 

, де .

 

9. Знайти похідну Фреше відображення .

 

Розвязок

Нехай

 

, , , .

 

Тоді

 

.

 

10. Знайти похідну Фреше відображення .

 

Розвязок

Нехай , , , . Тоді

 

, .

 

11. Знайти похідну Фреше відображення .

 

Розвязок

Нехай , ,, . Тоді

 

.

12. Задано відображення . Довести, що .

 

Доведення

Розглянемо для

 

, якщо

 

Лінійність:

 

 

Обмеженість:

 

 

Остаточно маємо .

 

13. Задано відображення . Довести, що .

 

Доведення

Розглянемо для

 

 

Остаточно маємо .

 

14. Задано відображення . Довести, що .

 

Доведення

Розглянемо для

 

 

Остаточно маємо .

 

15. Знайти похідну Фреше відображення .

 

Розвязок

 

,

 

причому

 

.

 

Лінійність:

 

, , тобто , ,

 

Обмеженість:

 

.

Остаточно знаходимо, .

 

16. Довести, що необхідною і достатньою умовою диференційовності за Фреше відображення в точці x є диференційовність ( в звичайно-му сенсі) функції багатьох змінних в точці .

 

Доведення

Необхідність. Нехай відображення диференційовне за Фреше в точці x: .

Функція в точці називається диференційовною, якщо

 

,(*)

 

де .

Приведемо до вигляду (*):

 

,

,

 

Виберемо , тоді

 

Виберемо , тоді знаходимо

 

, і т.д.

 

Виберемо , тоді

 

і

,

, .

 

Достатність. Нехай відображення диференційовне в звичайному сенсі: . Перевіримо лінійність та обмеженість по h. Адитивність та однорідність для скалярного добутку вірні, тому лінійність є.

Обмеженість:

 

, де

Остаточно знаходимо .

Розглянемо два приклади

 

1. ,

 

тоді

 

, .

 

2. , тоді

17. Знайти похідну Фреше відображення в точці :

 

 

Розвязок.

 

;;

;

 

18. Нехай і , де стандартний базис в . Знайти похідну Гато .

 

Розвязок

Якщо , то відображає в . Дійсно, позначимо , ряд збігається, тоді збігається й ряд , так що для довільного .

Обираємо за напрямок одиничного вектора орт і знаходимо

 

 

Тоді

 

 

Похідна існує і дорівнює

 

.

 

19. Якщо відображення диференційовне за Фреше, то воно диференційовне за Гато. Обернене твердження в загальному випадку невірне. Наприклад, в просторі розглянемо функцію

 

 

Дослідимо функцію на неперервність в точці (0,0):

 

 

Якщо , то і . Тобто неперервна в точці (0,0).

Розглянемо

 

 

Тобто, відображення диференційовне за Гато.

Розглянемо

 

 

функція двох змінних, покладемо , нехай і розглянемо

 

,

тобто відображення не диференційне за Фреше.

 

20. Якщо диференціал Гато є обмеженим функціоналом, то він називається градієнтом функціонала і позначається .

Нехай Н дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

 

Розвязок

 

 

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

 

.

 

21. Нехай Н дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

 

Розвязок

 

За