Похідна Фреше та похідна Гато
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
/p>
ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ
1. Довести, що похідна Фреше диференційовного в точці відображення визначається єдиним чином.
Доведення
Нехай , дві похідні Фреше в точці x, тоді
, де (1)
, де (2)
Розглянемо різницю (2)-(1):
, якщо
Це прямування до нуля нетривіально, тобто
якщо .
Тобто, похідна Фреше диференційованого відображення визначається єдиним чином.
2. Довести, що якщо оператор f диференційовний за Фреше в точці x, то f неперервний в цій точці.
Доведення
Якщо та , то .
3. Довести, що якщо , то (нульовий оператор).
Доведення.
Нехай оператор диференційовний за Фреше, тобто
, де
Нехай , тоді ( нульовий оператор)
, звідки (нульовий оператор, який діє на h).
4. Довести, що похідною Фреше лінійного неперервного відображення є саме це відображення.
Доведення.
Нехай оператор диференційований за Фреше, тобто
, де .
лінійний неперервний оператор
5. Нехай f, g два неперервних відображення з X в Y. Довести, що якщо f та g диференційовні за Фреше в точці x, то відображення f+g та cf, де c-const, також диференційовні в цій точці, причому
,
Доведення.
Розглянемо
, якщо .
Тепер
,
якщо .
6. Нехай , де дійсний гільбертів простір. Знайти похідну Фреше в точці x.
Розвязок.
Тобто, .
7. Знайти похідну Фреше функціонала в точці x дійсного гільбертова простору.
Розвязок
Нехай , . Тоді .
Розглянемо , . Тоді
Тепер
, де .
Тоді
, де .
8. Знайти похідну Фреше відображення .
Розвязок
Нехай
, .
Тоді
.
Розглянемо , . Тоді
, де .
9. Знайти похідну Фреше відображення .
Розвязок
Нехай
, , , .
Тоді
.
10. Знайти похідну Фреше відображення .
Розвязок
Нехай , , , . Тоді
, .
11. Знайти похідну Фреше відображення .
Розвязок
Нехай , ,, . Тоді
.
12. Задано відображення . Довести, що .
Доведення
Розглянемо для
, якщо
Лінійність:
Обмеженість:
Остаточно маємо .
13. Задано відображення . Довести, що .
Доведення
Розглянемо для
Остаточно маємо .
14. Задано відображення . Довести, що .
Доведення
Розглянемо для
Остаточно маємо .
15. Знайти похідну Фреше відображення .
Розвязок
,
причому
.
Лінійність:
, , тобто , ,
Обмеженість:
.
Остаточно знаходимо, .
16. Довести, що необхідною і достатньою умовою диференційовності за Фреше відображення в точці x є диференційовність ( в звичайно-му сенсі) функції багатьох змінних в точці .
Доведення
Необхідність. Нехай відображення диференційовне за Фреше в точці x: .
Функція в точці називається диференційовною, якщо
,(*)
де .
Приведемо до вигляду (*):
,
,
Виберемо , тоді
Виберемо , тоді знаходимо
, і т.д.
Виберемо , тоді
і
,
, .
Достатність. Нехай відображення диференційовне в звичайному сенсі: . Перевіримо лінійність та обмеженість по h. Адитивність та однорідність для скалярного добутку вірні, тому лінійність є.
Обмеженість:
, де
Остаточно знаходимо .
Розглянемо два приклади
1. ,
тоді
, .
2. , тоді
17. Знайти похідну Фреше відображення в точці :
Розвязок.
;;
;
18. Нехай і , де стандартний базис в . Знайти похідну Гато .
Розвязок
Якщо , то відображає в . Дійсно, позначимо , ряд збігається, тоді збігається й ряд , так що для довільного .
Обираємо за напрямок одиничного вектора орт і знаходимо
Тоді
Похідна існує і дорівнює
.
19. Якщо відображення диференційовне за Фреше, то воно диференційовне за Гато. Обернене твердження в загальному випадку невірне. Наприклад, в просторі розглянемо функцію
Дослідимо функцію на неперервність в точці (0,0):
Якщо , то і . Тобто неперервна в точці (0,0).
Розглянемо
Тобто, відображення диференційовне за Гато.
Розглянемо
функція двох змінних, покладемо , нехай і розглянемо
,
тобто відображення не диференційне за Фреше.
20. Якщо диференціал Гато є обмеженим функціоналом, то він називається градієнтом функціонала і позначається .
Нехай Н дійсний гільбертів простір, . Обчислити .
Розвязок
За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що
.
21. Нехай Н дійсний гільбертів простір, . Обчислити .
Розвязок
За