Построение оптимального производственного плана химической компании
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
Содержание
Экономическая постановка задачи........................................................3
Математическая постановка задачи......................................................4
Описание и теоретическое обоснование алгоритма решения.............5
Решение задачи. Стохастическое программирование………………11
Метод линейных комбинаций………………………………………...15
Выводы………………………………………………………………….19
Список использованной литературы………………………………….20
Экономическая постановка задачи
Предприятие химической промышленности ЗАО Химсервис планирует выпустить 2 новых вида кислот. С этой целью был проведён ряд исследований, в результате которых стало очевидно, что вред окружающей среде от искомого производства составит соответственно 10 и 20% от всей продукции в стоимостном выражении.
Государство вводит экологические санкции за превышение лимита допустимой концентрации указанных отходов в реке (он составляет 100 литров в квартал).
Себестоимость продукции предприятия прогнозируется независимо по каждому виду товара на основании практических данных по сходным по технологии производства видам, причём достоверность прогноза не менее 0,9 и 0,8 по каждому виду продукции соответственно.
Необходимо произвести оценку себестоимости продукции и составить оптимальный производственный план за квартал, учитывающий данную оценку, если известно, что Химсервис заключил договор поставки с парфюмерной компанией Парфюм, который предусматривает реализацию кислотной продукции по ценам 15 и 20 тысяч рублей за литр соответственно.
Математическая постановка задачи
Исходная задача эквивалентна следующей:
z = (15 m) * x1 + (20 n) * x2 > max
x1 + 2 * x2 ? 1000
P {m ? M} ? 0.9
P {n ? N} ? 0.8
В данной символической записи x1, x2, m, n, M, N представляют собой, соответственно, количество планируемой к производству кислоты по видам, себестоимость продукции по видам и их минимально возможные показатели, представленные случайными величинами. Известна также информация оценки себестоимости продукции по технологически сходным видам.
Таблица 1
Оценка себестоимости продукции
Описание и теоретическое обоснование алгоритма решения
Прежде всего необходимо свести задачу к детерминированному виду. Для этого достаточно знать на заранее известном уровне значимости ? законы распределения случайных величин. Определить его можно путём анализа статистических данных, приведённых в таблице 1. При проверке выборок на принадлежность их к закону распределения, тип которого можно оценить с помощью гистограммы и эмпирической функции распределения, используется критерий согласия Колмогорова-Смирнова.
Определим расстояние Колмогорова между эмпирической и теоретической функциями распределения:
Соответствующее решающее правило критерия: H0 верна, если , в противном случае верна гипотеза H1. Здесь статистика при достаточно большом n асимптотически стремится к распределению Колмогорова, которое не зависит от F(x).
Для того чтобы пользоваться указанным критерием необходимо провести группировку исходной выборки по интервалам, построить соответствующие гистограмму и эмпирическую функции распределения. Наконец, для оценки значений теоретической функции распределения необходимо оценить параметры подбираемого распределения.
После установления на уровне значимости ? справедливости гипотезы H0 можно преобразовать указанные вероятностные ограничения к эквивалентным детерминированным. Это можно сделать следующим образом:
, где ? случайная величина с ранее установленным на уровне значимости ? законом распределения а значит и полностью известной функцией распределения. X же здесь представлен в виде: .
Очевидно, что целевая функция это функция четырёх переменных, все ограничения модели линейны, так как преобразованные вероятностные ограничения представляют собой функции распределения с аргументом , а, значит, в силу монотонности функции распределения случайной величины ? можно осуществить эквивалентный переход:
.
Теперь можно с полным правом использовать метод линейных комбинаций. Его общая постановка выглядит следующим образом:
Здесь X, Ai, Bj векторы переменных, соответствующих им коэффициентов и правых частей ограничений соответственно. Также выполнены условия k<n<m.
Суть метода линейных комбинаций заключается в итерационном использовании понятия градиента функции (обозначается grad z). По определений градиент функции записывается математически как
. Иными словами это n-мерный вектор, координаты которого представлены частными производными соответствующей функции (важно заметить, что функция z должна иметь конечные частные производные). Градиент покатывает направление, при движении по которому можно достичь максимума функции на минимальное число итераций, позволяющих на основании исходных координат вектора переменных сформировать новый вектор переменных, который будут находиться ближе к оптимуму. Очевидно, что данный подход (он основан на равенстве grad z=0, которое в силу определения градиента эквивалентно необходимому условию существования экстремума у функции z) может вывести за пределы области ограничений задачи. К тому же, в точке условного оптимума градиент функции z не обязательно равен нулю. Поэтому применяется следующи?/p>