Построение оптимального производственного плана химической компании
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
скомой задачи опишем метод анализа чувствительности оптимального решения задачи линейного программирования к изменению коэффициентов целевой функции. Для этого рассмотрим фрагмент симплекс-таблицы и некую задачу линейного программирования в матричном виде:
Таблица 3
Фрагмент матричной симплекс-таблицы
Базис…xj…XбРешениеzzj-cjXбB-1PjB-1B-1b
Введём теперь понятие двойственной задачи:
Обозначим через Y m-мерный вектор переменных двойственной задачи. В компактной матричной форме можно записать Y=CбB-1, где Cб m-мерный вектор, состоящий из коэффициентов cj исходной целевой функции, соответствующих базисному вектору Xб. Таким образом, разности zj-cj можно определить следующим образом: . Данная формула основано на фундаментальном соотношении между прямой и двойственной задачами:
для любой симплекс-таблицы прямой или двойственной задачи справедливо: коэффициент при j-ой переменной в z-строке одной задачи равен разности между левой и правой частями j-го неравенства другой задачи;
для любой пары допустимых решений прямой и двойственной задач выполняется: значение целевой функции в задаче максимизации ? значения целевой функции в задаче минимизации. В точке оптимума наблюдается строгое равенство.
Таблица 4
Соотношение прямой и двойственной задачи
Прямая задачаДвойственная задача
Тем самым можно вычислить новые значения коэффициентов z-строки окончательной симплекс-таблицы по изменённым исходным данным задачи. В этом и состоит суть анализа чувствительности к изменению коэффициентов целевой функции. В задаче максимизации на коэффициенты при небазисных переменных z-строки накладываются ограничения неотрицательности, что позволяет найти интервалы допустимости для коэффициентов целевой функции, либо составить систему неравенств, описывающую их.
Решение задачи
Стохастическое программирование
Проведём анализ выборок из генеральных совокупностей M и N на основании данных, приведённых в таблице 1. Для построения таких таблиц необходимо построить точечные оценки параметров распределения генеральных совокупностей. Наилучшими такими оценками для математического ожидания и дисперсии являются выборочное среднее и выборочная дисперсия при неизвестном математическом ожидании соответственно. Они рассчитываются как , где ni и xi частота и середина i-го интервала соответственно. Подставляя в формулы данные таблицы 1 и учитывая группировки данных, представленных в таблицах 5 и 6, имеем:
.
Таблица 5
Анализ выборки из M
Таблица 6
Анализ выборки из N
Здесь Fт представляет собой расчёт теоретической функции распределения, получаемый при оценивании параметров распределения наилучшими точечными оценками. Закон распределения предполагается нормальным в обоих случаях, так как вид гистограммы, построенной по исходным данным, является схожим графику плотности нормального распределения с параметрами, равными точечным оценкам.
рис. 1 Гистограмма M
рис. 2 Гистограмма N
Так как на основании гистограмм выдвинуто предположение о нормальности законов распределения M и N, то можно окончательно формировать таблицы 5 и 6, где и . Приведём теперь сравнительные графики эмпирической и теоретической функций распределения случайных величин M и N:
рис 3. Функции распределения M
рис 4. Функции распределения N
Из рисунков видно, что данные выборок неплохо согласуются с теоретическими значениями, следовательно, имеет смысл применить критерий согласия Колмогорова-Смирнова для подтверждения на уровне значимости ? = 0,01 гипотезы соответствия эмпирических данных теоретическому распределению.
По таблицам 5 и 6 вычисляем значения критериальной статистики при n = 30.
- значит гипотеза верна.
- гипотеза также верна.
Теперь можно преобразовать стохастические ограничения задачи в эквивалентные им линейные.
Заметим, что все преобразования законны, так как M случайная величина, имеющая на уровне значимости ? = 0,01 нормальное распределение с параметрами , следовательно величина имеет нормированное нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и единичной дисперсией. Значит, функция распределения такой случайной величины будет эквивалентна табулируемой функции Лапласа, что позволяет в силу монотонности последней преобразовать эквивалентным образом стохастическое ограничение в линейное.
Аналогично для случайной величины N: .
Таким образом, можно сформулировать задачу нелинейного программирования с линейными ограничениями:
Метод линейных комбинаций
Выберем произвольную начальную точку, удовлетворяющую всем ограничениям задачи: X1 = (1; 1; 12; 4). Теперь можно вычислить градиент исходной целевой функции в точке X1: . Согласно методу линейных комбинаций сформулируем задачу линейного программирования с исходными ограничениями:
Поскольку последняя эквивалентность определяет стандартный вид задачи линейного программирования, можно построить начальную симплекс-таблицу, содержащую неоптимальное и недопустимое решение.
Таблица 7
Первая итерация
Базисx1x2mnS1S2S3Решениеw1-3-16110000S112001001000S200-250010-268S3000-10001-33
Согласно обобщённому симплекс-методу для поиска исключаемой пе?/p>