Порівняльний аналіз ефективності та складності швидких алгоритмів сортування масивів
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
х просівання має довжину l, тому кількість порівнянь і пересилань при просіванні одного елемента пропорційно l. Таким чином,
M2(n) = O(l n),
C2(n) = O(l n).
Оскільки l = log2n, M2(n)=O(n log2 n)), C2(n)=O(n log2 n), Але З(n) = C1(n) + C2(n), M(n) = M1(n) + M2(n). Тому що C1(n) < C2(n), M1(n) < M2(n),остаточно одержуємо оцінки складності алгоритму Tree Sort за часом:
M(n) = O(n log2 n), C(n) = O(n log2 n),
У загальному випадку, коли n не є ступенем 2, сортуюче дерево будується трохи інакше. "Зайвий" елемент (елемент, для якого немає пари) переноситься на наступний рівень. Легко бачити, що при цьому глибина сортуючого дерева дорівнює [log2 n] + 1. Удосконалення алгоритму II етапу очевидно. Оцінки при цьому змінюють лише мультиплікативні множники. Алгоритм Tree Sort має істотний недолік: для нього потрібно додаткова память розміру 2n - 1.
2.4Сортування вибором при допомозі дерева алгоритм Heap Sort
Прямий вибір - повторюваний пошук найменшого елемента серед N елементів, N-1 елементів, N-2 і т.д. Кількість порівнянь при цьому (N2-N)/2. Для підвищення ефективності необхідно залишати після кожного етапу побільше інформації окрім ідентифікації найменшого ключа.
Після N/2 порівнянь можна знайти в кожній парі елементів найменший, після N/4 порівнянь - менший із пари вже вибраних на попередньому кроці і т.д. Виконавши загалом N/2+N/4+...+2+1=N-1 порівнянь, можна побудувати дерево вибору та ідентифікувати його корінь як шуканий найменший елемент. Наприклад
крок I \ / \ / \ / \ /
44 12 06
крок II \ / \ /
12 06
крок III \ /
06
На наступному етапі сортування проводиться рух вздовж віток, які відмічені мінімальними елементом, і вилучення його з дерева шляхом заміни на пустий елемент.
44[]
\ / \ / \ / \ /
44 12 18 []
\ / \ /
12 []
\ /
[]
Далі здійснюється заповнення "дірок" у дереві. На першому рівні залишається "дірка" від вилученого елемента, а на наступних знову вибирається менший із двох сусідніх попереднього рівня. "Дірка" при порівнянні вважається як завгодно великим значенням.
44[]
\ / \ / \ / \ /
44 12 18 67
\ / \ /
12 18
\ /
12
Елемент, що опинився в корені, - знову найменший. Після N таких кроків дерево стане пустим, в ньому будуть лише одні "дірки" (сортування закінчене). На кожному з N етапів виконується log(N) порівнянь. Тому на весь процес впорядкування потрібно порядку N*log(N) операцій плюс N-1 операцій для побудови дерева. Це значно краще ніж N2 для прямих методів і навіть краще ніж N1,2 для алгоритму Шелла. Однак при цьому виникає проблема збереження додаткової інформації. Тому кожен окремий етап в алгоритмі ускладнюється.
Корисно було б, зокрема, позбутися від "дирок", якими вкінці буде заповнене все дерево, і які породжують багато непотрібних порівнянь. Крім того, виникає потреба такої організації даних за принципом дерева, яка б вимагала N одиниць памяті, а не 2N-1. Цього вдалося добитися в алгоритмі Heap Sort, який розробив Д. Уілльямс. Він використав спеціальну деревовидну структуру - піраміду.
Піраміда - це означене, тобто задане елементами кореневе бінарне дерево, яке визначається як послідовність ключів a L , a L+1 , ..., a R , для якої справедливі нерівності
та для .(1)
Таким чином бінарне дерево сортувань виду
a1
/ \
a2=42a3=06
/ \ / \
a4=55a5=94a6=18a7=12
являє собою піраміду, а елемент a1 буде найменшим в розглядуваній множині : a1=min(a 1 , a 2 , ..., a N).
Припустимо, що є деяка піраміда із заданими елементами a L+1 , ..., a R для певних значень L та R, і потрібно ввести новий елемент x, утворюючи таким чином розширену піраміду a L , a L+1 , ..., a R . В якості вихідної візьмемо піраміду a 1 , a 2 , ..., a 7 із попереднього прикладу і добавимо до неї зліва елемент a 1=44. Нова піраміда отримується так : спочатку x ставиться зверху деревовидної структури, а потім він поступово опускається вниз кожен раз в напрямку меншого з двох прилеглих до нього елементів, а сам цей менший елемент переміщується вгору. Процес просіювання продовжується доти, поки в жодній з прилеглих вершин не буде елемента меншого за нововведеного. В розглядуваному прикладі ключ 44 спочатку поміняється місцями з ключем 06, а потім з 12, і в результаті отримується таке дерево
06
/ \
42
/ \ / \
94 18
Характерно, що такий метод просіювання залишає незмінними умови (1), які визначають піраміду.
Р. Флойд запропонував певний "лаконічний" алгоритм побудови піраміди "на тому ж місці". Вважається, що деяка частина елементів масиву a m , a 2 , ..., a N (m=Ndiv2) вже утворює піраміду - нижній шар відповідного бінарного дерева, для них ніякої впорядкованості не вимагається. Тепер піраміда розширюється вліво; кожен раз добавляється і просіюваннями ставитться у відповідну позицію новий елемент. Ці дії реалізуються проседурою Sift :
Procedure Sift(L, R : integer);
Var
i, j : integer; x : basetype;
Begin
i:=L; j:=2*L; x:=a[L];
if (j<R) and (a[j+1]<a[j]) then j:=j+1;
while (j<=R) and (a[j]<x) do
begin
a[i]:=a[j]; a[j]:=x; i:=j; j:=2*j;
if (j<R) and (a[j+1]<a[j]) then j:=j+1
end
End;
Таким чином, процес формування піраміди із N елементів a 1 , ..., a N "на тому ж місці"