Порівняльний аналіз ефективності та складності швидких алгоритмів сортування масивів
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
end;
while a[i]<x do i:=i+1;
if j>i then begin
a[j]:=a[i]; a[i]:=x; j:=j-1
end
end;
k:=k+1;
if R-i<=i-L then
begin
left[k]:=i+1; right[k]:=R; R:=i-1
end
else
begin
left[k]:=L; right[k]:=i-1; L:=i+1
end
end;
for i:=L+1 to R do
begin
x:=a[i]; j:=i-1;
while (x=L) do
begin
a[j+1]:=a[j]; j:=j-1
end;
a[j+1]:=x
end
end
End;
Аналіз алгоритму Quick Sort. Щоб оцінити ефективність алгоритму, позначимо через Q(N) середню кількість кроків, необхідних для впорядкування N елементів. Припустимо також, S=1, тобто не використовується сортування прямими методами на коротких послідовностях.
При першому проходженні Quick Sort порівнює всі елементи з ведучим і виконується не більше ніж за C*N кроків, де C - деяка константа. Потім потрібно відсортувати дві підпослідовності довжинами I-1 та N-I. Тому середня кількість кроків, потрібних для впорядкування N елементів, залежить від середньої кількості кроків, потрібних для впорядкування I-1 та N-I елементів відповідно. Оскільки всі можливі значення є рівноймовірними, то спрведлива наступна оцінка :
.
Врахувавши, що
,
отримаємо
.(1)
Покажемо за індукцією по N, що для , де K=2C+2B, B=Q(0)=Q(1). Останнє співвіднощення означає, що Quick Sort вимагає постійної однакової кількості кроків для впорядкування 0 або 1 елемента.
1) N=2 : ;
2) припустимо, що для I=2, 3, ..., N-1 ;
3) перевіримо справедливість для I=N. Співвідношення (1) з врахуванням попереднього припущення можна переписати у вигляді
або
.(2)
Оскільки функція I*ln(I) є опуклою вниз, то для цілих значень аргументу справедлива оцінка
Врахувавши останню нерівність, із співвідношення (2) одержимо
.
Оскільки , то
.
Остаточно отримаємо
.(3)
Таким чином ефективність алгоритму Quick Sort є величина порядку O(N*ln(N)).
Всі наведені викладки справедливі для аналізу по операціях порівняння. Кількість же перестановок залежить від початкового розміщення елементів у послідовності. Характерно, що для цього методу у випадку зворотньо впорядкованого масиву обєм переміщень ключів не буде максимальним. Адже на кожному етапі ведучий елемент буде найбільшим і опиниться на своєму місці після першого ж порівняння і перестановки, тобто M=N-1. Максимальна кількість переприсвоєнь ключів співпадатиме з кількістю порівнянь, мінімальна - рівна нулю.
Алгоритм Quick Sort, як і розглянуті прямі методи, описує процес стійкого сортування.
2.3 Сортування вибором при допомозі дерева алгоритм Тree Sort
Алгоритм сортування деревом ТreeSort власне кажучи є поліпшенням алгоритму сортування вибором. Процедура вибору найменшого елемента удосконалена як процедура побудови так званого сортуючого дерева. Сортуюче дерево - це структура даних, у якій представлений процес пошуку найменшого елемента методом попарного порівняння елементів, що стоять поруч. Алгоритм сортує масив у два етапи.
I етап : побудова сортуючого дерева;
II етап : просівання елементів по сортуючому дереву.
Розглянемо приклад: Нехай масив A складається з 8 елементів. Другий рядок складається з мінімумів елементів першого рядка, які стоять поруч. Кожний наступний рядок складений з мінімумів елементів, що стоять поруч, попереднього рядка.
Ця структура даних називається сортуючим деревом. У корені сортуючого дерева розташований найменший елемент. Крім того, у дереві побудовані шляхи елементів масиву від листів до відповідного величині елемента вузла -розгалуження.
Коли дерево побудоване, починається етап просівання елементів масиву по дереву. Мінімальний елемент пересилається у вихідний масив B і усі входження цього елемента в дереві заміняються на спеціальний символ M. Потім здійснюється просівання елемента уздовж шляху, відзначеного символом M, починаючи з листка, сусіднього з M і до кореня. Крок просівання - це вибір найменшого з двох елементів, що зустрілися на шляху до кореня дерева і його пересилання у вузол, відзначений M.
a6 = min(M, a6)
a6 = min(a6, a8)
a3 = min(a3, a6)
b2 := a3
Просівання елементів відбувається доти, поки весь вихідний масив не буде заповнений символами M, тобто n раз:
For і := 1 to n do begin
Відзначити шлях від кореня до листка символом M;
Просіяти елемент уздовж відзначеного шляху;
B[I] := корінь дерева
end;
Обґрунтування правильності алгоритму очевидно, оскільки кожне чергове просівання викидає в масив У найменший з елементів масиву А, що залишилися.
Сортуюче дерево можна реалізувати, використовуючи або двовимірний масив, або одномірний масиві ST[1..N], де N = 2n-1.
Аналіз алгоритму Tree Sort.
Оцінимо складність алгоритму в термінах M(n), C(n). Насамперед відзначимо, що алгоритм Tree Sort працює однаково на усіх входах, так що його складність у гіршому випадку збігається зі складністю в середньому.
Припустимо, що n - ступінь 2 (n = 2l). Тоді сортуюче дерево має l + 1 рівень (глибину l). Побудова рівня I вимагає n / 2I порівнянь і пересилань. Таким чином, I-ий етап має складність:
C1(n) = n/2+n/4+ ... + 2+1 = n-1, M1(n) = C1(n) = n - 1
Для того, щоб оцінити складність II-го етапу С2(n) і M2(n) помітимо, що кожен шля