Порівняльний аналіз ефективності та складності швидких алгоритмів сортування масивів
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?омозі наступних покращень:
1) фіксувати, чи були перестановки в процесі деякого етапу. Якщо ні, то - кінець алгоритму ;
2) фіксувати крім факту обміну ще і положення (індекс) останнього обміну. Очевидно, що всі елементи перед ним або після нього відповідно для сортування "бульбашкою" або "камінцем" будуть впорядковані ;
3) почергово використовувати алгоритми "бульбашки" і "камінця". Тому що для чистої "бульбашки" за один прохід "легкий" елемент виштовхується на своє місце, а "важкий" опускається лише на один рівень. Аналогічна ситуація з точністю до навпаки і для "камінця". Такий алгоритм називається "шейкерним" сортуванням.
Читачу пропонується самостійно модифікувати наведені вище процедури з врахуванням цих покращень.
Аналіз прямого обміну. Розглянемо спочатку чисту "бульбашку". Для "камінця" оцінки будуть такими ж самими. Зрозуміло, що кількість порівнянь ключів Ci на i-ому проході не залежить від початкового розміщення елементів і дорівнює N-i. Таким чином
Кількість же перестановок залежить від стартової впорядкованості масиву. В найкращому випадку початково впорядкованого масиву Mi=0 ; в найгіршому випадку зворотньо впорядкованого масиву Mi=Ci*3; для довільного масиву рівноймовірно можливе значення Mi=Ci*3/2. Тому для оцінки ефективності алгоритму по перестановках можна скористатися наступними співвідношеннями:
;
;
.
Очевидно, що і цей алгоритм, аналогічно з іншими прямими методами, описує процес стійкого сортування.
Розглянемо тепер покращений варіант "шейкерного" сортування. Для цього алгоритму характерна залежність кількості операцій порівняння від початкового розміщення елементів в масиві. В найкращому випадку вже впорядкованої послідовності ця величина буде . У випадку зворотньо впорядкованого масиву вона співпадатиме з ефективністю для чистої "бульбашки".
Як видно, всі покращення не змінюють кількості переміщень елементів (переприсвоєнь), а лише зменшують кількість повторюваних порівнянь. На жаль операція обміну місцями елементів в памяті є "дорожчою" ніж порівняння ключів. Тому очікуваного виграшу буде небагато. Таким чином "шейкерне" сортування вигідне у випадках, коли відомо, що елементи майже впорядковані. А це буває досить рідко.
Розділ ІІ. Швидкі методи сортування масивів
2.1 Сортування включенням із зменшуваними відстанями алгоритм Шелла (1959)
Шелл вдосконалив пряме включення. Він запропонував проводити послідовне впорядкування підмасивів з елементів, які знаходяться на великих відстанях. При цьому на кожному наступному етапі відстані між елементами в групах мають зменшуватися.
Для ілюстрації алгоритму розглянемо його покрокове описання. Не обмежуючи загальності, в якості прикладу спочатку зупинимося на масиві з кількістю елементів, що є степенем двійки, тобто :
1) на першому етапі окремо групуються і сортуються елементи, розміщені на відстані N/2 . Це є впорядкування N/2 підмасиві по 2 елементи, яке називатимемо N/2-сортування .
2) на другому етапі виконується впорядку вання N/4 підмасивів по 4 елементи на відстані N/4 - N/4-сортування і т.д.
На останньому етапі виконується одинарне сортування (впорядкування на відстані 1). Наприклад :
44 55 12 42 94 18 06 67
етап I-сортування
44 18 06 42 94 55 12 67
етап II-сортування
06 18 12 42 44 55 94 67
етап III-сортування
06 12 18 42 44 55 67 94
Виникає питання, чи використання багатьох процесів сортування із залученням всіх елементів не збільшить кількість операцій, тобто складність алгоритму? Але на кожному проході або впорядковується відносно мало елементів (початкові етапи), або елементи вже досить добре впорядковані і вимагається відносно мало перестановок (кінцеві етапи). Кожне i-те сортування обєднує дві групи, вже впорядковані 2i-тим сортуванням. Очевидно, що відстань між елементами груп можна зменшувати по-різному, головне, щоб остання була одиничною. Останній прохід в найгіршому випадку і виконує основну роботу. Варто зауважити, що такий довільний підхід при зменшенні відстаней не погіршує результату і у випадку кількості елементів N, що не є степенем двійки.
Нехай виконується t етапів. Відстані між елементами в окремих групах на кожному етапі позначимо : h1 , h2 , ..., h t , де h t=1, h i+1<h i , i=1, 2, ..., t-1. Таким чином розглядаються h-ті сортування. Кожне h-те сортування можна реалізувати будь-яким із прямих методів. Зокрема, вибір включення оправданий кращою в порівнянні з іншими алгоритмами ефективністю по перестановках ключів. Однак, чи варто для спрощення умови припинення пошуку місця включення чергового елемента користуватися методом барєрів? Оскільки кожне h-те сортування потребує свого власного барєра, то прийдеться розширити масив не на одну компоненту a0 , а на h1 компонент. На першому етапі - це практично половина всіх елементів. У випадку "довгих" масивів прийдеться порушити правило сортування "на своєму місці". Тому не варто заради економії однієї логічної операції на кожному етапі впорядкування жертвувати такими обємами памяті.
Кількість етапів сортування t як і відстані на кожному з них можна вибирати довільно. Зокрема, це може бути кількість цілочисельних поділів чис