Отражение и преломление плоских волн
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
равнений (1.10) и (1.11) выражения для касательных составляющих векторов поля и подставив их в граничные условия (1.6), получим следующее равенство:
(1.12)
Это равенство выполняется при любом значении координаты Yв случае, если равны между собой показатели экспонент слагаемых в левой и правой частях уравнения, т.е.:
(1.13)
Из равенств (1.13) видно, что:
(1.14)
(1.15)
Поскольку коэффициент a у всех трёх волн равен нулю, то из уравнения (1.4) следует, что этих волн коэффициент c определяется выражением:
(1.16)
Выбор одного из двух значений c в уравнении (1.16) определяет направлением распространения волны.
Рассмотрим отраженную волну.
Так как:, следовательно:
(1.17)
Таким образом, коэффициенты a, b, c отраженной волны всегда являются действительными величинами, а это значит, что отражённая волна в случае падающей плоской однородной волны всегда является плоской однородной волной. В формуле (1.16) для отраженной волны выбран знак +, так как очевидно, что: , следовательно: .
Угол отражённой волны называется углом отражения: .
Определим угол отражения. Для этого выразим коэффициенты и через угол отражения:
.
Известно, что: , следовательно: , откуда следует, что:
.(1.18)
Т.е. угол отражения всегда равен углу падения. Это первый закон Снеллиуса.
Рассмотрим преломленную волну
Из равенства (1.15) следует, что:
(1.19)
тогда:
Если обе среды имеют потери, то волновые числа , являютс\ комплексными величинами. Поэтому коэффициенты и в общем случае могут быть комплексными. Это значит, что в этом случае преломленная волна всегда является плоской неоднородной волной.
Рассмотрим частный случай, когда обе среды являются идеальными диэлектриками. В этом случае:
(1.20)
также являются действительными величинами и преломленная волна в этом случае будет плоской однородной волной.
В формуле (1.20) для коэффициента выбран знак минус, т.к. угол преломления - есть угол между направлением распространения преломленной волны и отрицательным направлением оси Z
Следовательно: (рис. 1.4).
Известно, что:
Учитывая это, получим выражение для определения угла преломления:
или (1.21)
Обычно у диэлектриков . Поэтому равенство (1.21) можно записать так:
,(1.22)
где - показатели преломления первой и второй среды.
Выражение: (1.23) называется второй закон Снеллиуса.
Таким образом, если падающая волна является плоской однородной волной, то отраженная волна всегда является так же плоской однородной волной. Преломленная же волна может быть плоской и однородной только в единственном случае, когда потери в первой и второй среде отсутствуют и выполняют условие Во всех остальных случаях преломленная волна является плоской неоднородной волной.
1.2 Формулы Френеля
Определим связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Рассмотрим вначале падающую волну с нормальной поляризацией. Если падающая волна имеет нормальную поляризацию, то и отраженная и преломленная волны будут иметь такую же поляризацию. В справедливости этого можно убедиться, анализируя граничные условия на поверхности раздела сред.
Если иметь составляющую с параллельной поляризацией, то граничные условия не будут выполняться ни в одной точке граничной поверхности.
Плоскость падения волны параллельна плоскости (ZoY). Направления распространения отраженной и преломленной волн также будут параллельны плоскости (ZoY) и у всех волн угол между осью X и направлением распространения волны будет равен: , а коэффициент
В соответствии со сказанным выше вектор всех волн параллелен оси X, а векторы параллельны плоскости падения волны (ZoY), поэтому у всех трёх волн проекция вектора на ось X равна нулю:
Вектор падающей волны определяется выражением:
Вектор падающей волны имеет две составляющие:
,(1.24)
где
Уравнения для векторов отраженной волны имеют вид:
, (1.25)
где
Уравнения для векторов поля преломленной волны имеют вид:
(1.26)
где
Для нахождения связи между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн воспользуемся граничными условиями для касательных составляющих векторов электромагнитного поля на границе раздела сред:
(1.27)
Поле в первой среде на границе раздела сред в соответствии с (1.27) будет иметь вид:
Поле во второй среде определяется полем преломленной волны:
Так как вектор всех трёх волн параллелен границе раздела сред, а касательная составляющая вектора есть составляющая , то граничные условия (1.27) можно представить в виде:
(1.28)
Падающая и отраженная волны являются однородными, поэтому для них справедливы равенства:
, (1.29)
где - волновое сопротивление первой среды.
Так как поля любой из рассматриваемых волн связаны между собой линейной зависимостью, то для преломления волн можно записать:
, (1.30)
где - коэффициент пропорциональности.
Из выражений (1.29) получим проекции векторов :
(1.31)
Подставив равенства (1.31) в уравнения (1.28) и учтя равенство (1.30), получим новую систему ура?/p>