Отношение эквивалентности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему:
Отношение эквивалентности
Содержание
Введение
Глава 1. Понятие отношения. Определение, типы, примеры отношений
Глава 2. Разбиение на классы. Фактор-множество. Отношение эквивалентности. Операции над эквивалентностями.
Глава 3. Отношения в школьной математике
Заключение
Список использованных источников
Введение
Настоящая курсовая работа посвящена изучению понятия отношения вообще и, в частности, отношения эквивалентности. Эти понятия являются основополагающими в курсе алгебры и в то же время они могут быть выведены из общепринятых житейских понятий равенства, сходства, порядка. Это дает возможность знакомить с ними старших школьников, не углубляясь в теорию, на конкретных примерах из школьного курса математики.
Первая глава курсовой работы будет посвящена понятию отношения вообще, способам задания отношений, алгебраической и геометрической интерпретации отношений. Будут введены некоторые теоретико-множественные операции над отношениями. Рассматриваются основные свойства отношений и значение этих свойств для геометрического и алгебраического способов задания отношений. Глава размещена на 7 листах.
Во второй главе настоящей курсовой работы раскрывается смысл отношения эквивалентности. Доказывается теорема о равносильности определений. Приводится ряд примеров. Вводится понятия разбиения на классы и фактор-множества. Определяются также некоторые другие важные отношения.
Третья глава посвящена рассмотрению некоторых отношений, вводимых на множествах знакомых и понятных любому старшему школьнику объектов. Наглядно иллюстрируются свойства отношений эквивалентности, толерантности, порядка. Делается вывод о возможности введения этих понятий на занятиях математических кружков. Глава содержит 5 листов.
Глава 1. Понятие отношения. Определение, типы, примеры отношений
.Определение отношения. Способы задания отношений
Если говорить языком, доступным пониманию школьника, задать отношение - значит указать, между какими объектами оно выполняется.
Например, отношение быть братом будет полностью определено, если мы составим список всех пар людей, один из которых - брат второго.
Отношение может быть определено не только для пар объектов (бинарное), но и для троек, четверок и т.д.
Примерами трехместных (тернарных) отношений являются алгебраические операции. Например, отношение образовывать сумму имеет смысл для троек чисел (x, y, z) и выполняется в том случае, когда x + y = z.
Перейдем к более строгому определению.
Пусть А и В - некоторые произвольные непустые множества.
Определение 1.1. Декартовым произведением множества А на множество В называется множество А х В, элементами которого являются всевозможные пары (а, b), где первый элемент берется из множества А, а второй-из множества В. Две такие пары считаются равными, если у них совпадают и первые, и вторые элементы: (а, b) = (с, d) а = с и b = d.
Пример 1.1. Если А= (0, 1, +} и В = (?, о, , +}, то
А В - {(0, ?), (0, о), (0. ), (0, +), (1, ?), (1, o), (1, ), (1, +), ( +, ?), (+, о), (+, ), ( +, +)}. Несложными рассуждениями устанавливается справедливость следующих соотношений:
)=
=
)=
=
)=
=
4)A-подмножество B и С -подмножество D, то подмножество
Определение 1.2. Декартово произведение S x S называется декартовым квадратом множества S.
Определение 1.3. Бинарным отношением между множествами A и В называется всякое подмножество декартова произведения А х В, т. е. любой элемент множества Р(А х В) всех подмножеств множества А х В.
Если |A| = т, |B|=n, то декартово произведение А х В будет состоять из тп различных пар. В этом случае | Р(А х В) | = 2mn,- это и есть общее число всевозможных бинарных отношений между множествами A и В.
Бинарные отношения будем обозначать строчными греческими буквами. Если (a, b) р, то говорят, что элемент а находится с элементом b в отношении ?.
Среди всех отношений между множествами A и В выделяются: пустое отношение , не содержащее ни одной пары; универсальное отношение, содержащее все возможные пары, т. е. само декартово произведение A и В. Для любого отношения ? Р(А х В) имеют место включения
? А х В
Есть два удобных способа представления отношений между элементами конечных множеств:
) с помощью двоичных булевых матриц;
) с помощью графов.
Пусть А ={a1, a2, …am}, B={b1, b2, …bm}, ? А х В
Построим матрицу М(?) размерности т х n следующим образом. Строки этой матрицы пометим элементами множества A, расположенными в некотором фиксированном порядке, а столбцы аналогично пометим элементами множества В. Затем положим в качестве элементов матрицы М(?):
Здесь 0, 1 - элементы двоичной булевой алгебры B2. Таким образом, элемент представляет собой логическое значение высказывания пара принадлежит отношению ?.
Очевидно, что различным отношениям между множествами A и В соответствуют различные двоичные булевы матрицы. Подчеркнем, что порядок элементов в A и В раз и навсегда фиксирован.
Пусть М-n-элементное множество и ? - отношение на нем. Отношение на М может быть задано матрицей размерности n x n. Матрица, для которой аij = 0 задает пустое отношение , которое не выполняется ни для одной пары.
Матрица, для которой аij = 1 задает полное отношение М х М, которо