Отношение эквивалентности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ивно. Теорема доказана.
IV.Операции над эквивалентностями.
Определим здесь некоторые теоретико-множественные операции над эквивалентностями и приведем без доказательств их важные свойства.
Вспомним, что отношение - это пара (), где М - множество элементов, вступающих в отношение, а - множество пар, для которых отношение выполнено.
Определение 2.7. Пересечением отношений (?1, М) и (?2, М) назовем отношение, определенное пересечением соответствующих подмножеств. (x, y) ?1 ?2 тогда и только тогда, когда одновременно (x, y) ?1 и (x, y) ?2.
Теорема 2.2: Пересечение ?1 ?2 эквивалентностей ?1 ?2 само является отношением эквивалентности.
Определение 2.8. Объединением отношений (?1, М) и (?2, М) назовем отношение, определенное объединением соответствующих подмножеств. (x, y) ?1 ?2 тогда и только тогда, когда (x, y) ?1 или (x, y) ?2.
Теорема 2.3: Для того, чтобы объединение ?1 ?2 эквивалентностей ?1 ?2 само по себе было отношением эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы
?1 ?2 =?1 ?2
Определение 2.9. Прямой суммой отношений (?1, М1) и (?2, М2) называется отношение ). Прямая сумма обозначается (?1, М1) (?2, М2).
Таким образом, если (?1, М1) (?2, М2)= (), то M=.
Теорема 2.4: Если , а отношения - эквивалентности, то прямая сумма отношений (?1, М1) (?2, М2)= (), также является эквивалентностью.
V.Типы отношений
Введем еще несколько важных типов отношений. Примеры будут приведены в третьей главе.
Определение 2.10. Отношение ? на множестве М называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично.
Определение 2.11. Отношение ? на множестве М называется отношением строгого порядка если оно антирефлексивно и транзитивно.
Определение 2.12. Отношение строгого порядка ? называется совершенным строгим порядком, если для всякой пары элементов x и y из М верно либо (х, у), либо (у, х)
Определение 2.13. Отношение ? на множестве М называется отношением нестрогого порядка если оно может быть представлено в виде:
где строгий порядок на М, а Е -диагональное отношение.
Глава 3. Отношения в школьной математике
. Отношения между геометрическими объектами
Многие хорошо известные из школьной математики понятия, в сущности, являются названиями бинарных отношений, а основные связанные с ними теоремы выражают свойства этих отношений.
Пример 3.1. Пусть М- множество всех прямых на плоскости. Соотношение Х || Y означает, что прямые X и Y параллельны. Установим некоторые свойства этого отношения.
. Отношение || антирефлексивно. Действительно, никакая прямая не параллельна сама себе.
. Отношение || симметрично, это видно из того, что в определении параллельности обе прямые равноправны.
. Отношение || почти транзитивно. а именно: если Х || Y и Y || Z, то либо X || Z, либо пряные Х и Z совпадают. Действительно, если бы это было не так, то прямые X и Z пересекались бы. Но, как известно из геометрии, если прямая Z пересекается с одной из параллельных X, то она пересекается и с другой из параллельных Y, т.е. было бы невозможно соотношение Y || Z.
Таким образом, отношение параллельности между прямыми не обладает еще хорошими свойствами. Но сказанное выше позволяет легко сообразить, какое отношение, родственное параллельности, будет отношением эквивалентности. А именно, определим отношение
|||=||,
Которое выполняется, когда прямые параллельны, либо совпадают. По определению, Х ||| X для любой прямой Х. Симметричность отношения ||| также очевидна. Наконец, если Х||| Y и Y ||| Z, то Х ||| Z. В самом деле, если Х || Y и Y = Z, то Х || Z; если Х = Y и Y || Z, то Х || Z. Наконец, если Х || Y и Y || Z, то, по сказанному ранее, либо Х = Z, либо Х || Z. Во всех случаях имеем Х ||| Z.
Отношение ||| на множестве прямых очень естественно выглядит в алгебраической форме. Если на плоскости ввести декартовы координаты х и у, то всякая прямая, не перпендикулярная оси Ох (не вертикальная) задается уравнением y=kx+b. Иначе говоря, любая (за указанным исключением) прямая определяется парой чисел (k, b). Пусть прямая Х задается уравнением y=kx+b, а прямая Y -- уравнением y=kx+b. Тогда соотношение X|||Y выполняется в том и только в том случае, когда k=k (k- тангенс угла наклона прямой к оси Ох). Соотношение X||Y означает, что k=k и одновременно b?b, т.е. прямые различны. Для вертикальных прямых можно положить k=? (), и условие k=kбудет по-прежнему означать X|||Y. Однако, это соглашение не очень красиво, так как при k=? у нас не определен второй параметр, различающий параллельные прямые.
В аналитической геометрии дается более универсальная (нормальная) форма задания прямой: x cos ? + y sin ? - p =0, которая описывает прямую любого вида. Здесь р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, ? - угол наклона этого перпендикуляра к оси абсцисс.
рис.3.2
Тем самым каждой прямой взаимно-однозначно сопоставлена пара чисел (?, р), где 0 ? ? < 2? и 0 ? р < +?. Соотношение X|||Y означает, что для соответствующих прямых ? = ? или ? = ? + ?. Каждой прямой соответствует точка на плоскости параметров ? и р, лежащая в области, изображенной на рисунке 3.2. Пары вертикальных прямых ?=const и ?+ ?=const (0 ? ? < ?) суть классы эквивалентности отношения |||.
Пример 3.2. На множестве прямых на плоскости существует еще одно важное отношение: X +Y (X перпендикулярна Y). Отношение перпендикулярности обладает следующими важными свойствами:
1.Антирефлексивность. Невозможно X + X.
2.Симметричность. Если X + Y, то Y + X.
3.Если X + Y и Y + Z то невозможно Х + Z. Из X + Y и Y + Z следует, очевидно, X ||| Z. Обратно, если X ||| Z, то существу?/p>