Отношение эквивалентности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µт общий перпендикуляр Y к прямым Х и Z, т.е. такое Y, что X + Y и Y + Z.
Оба последних утверждения означают, что квадрат отношения перпендикулярности есть отношение ||| - усиленной параллельности:
+ += +2=|||.
Пример 3.3. Введем на М еще одно отношение X Пер Y, означающее, что прямые имеют хотя бы одну общую точку, т.е. пересекаются или совпадают. Ясно, что отношение Пер рефлексивно, симметрично, но не транзитивно и является отношением толерантности.
Выберем на плоскости некоторую точку Р и рассмотрим множество Кр всех прямых, проходящих через эту точку. Легко видеть, что Кр есть класс толерантности. Действительно, любые прямые из Кр имеют общую точку, а именно - саму точку Р. С другой стороны, любая прямая Х, не входящая в Кр, не пересекается с некоторой прямой из Кр, а именно с прямой, проходящей через точку Р параллельной Х.
Пример 3.4. Пусть теперь М -- множество всех треугольников на плоскости. Равенство и подобие треугольников - суть отношения эквивалентности.
Пример 3.5. Обозначим через Мк множество окружностей на плоскости и определим отношение X |= Y условием, что окружность X находится внутри окружности Y. Это отношение антирефлексивно, транзитивно, т.е. является строгим порядком. Этот порядок не является совершенным, т.к. существуют окружности, не одна из которых не лежит внутри другой.
Пример 3.6. Множеству всех прямых присвоим обозначение Мп. тогда можно рассмотреть отношения между прямыми и окружностями. Примером такого отношения является отношение X Кас Y - прямая X касается окружности Y.
II. Отношения между уравнениями.
Пусть теперь множество М состоит из уравнений вида:
f(x)=g(x) (?)
Множество всех корней уравнения ? будем обозначать R?.
Например, для уравнения
x2=x3 (?1)
R?1={0,1}.Для уравнения
cos x=sin x (?2)
R?2={…}.Для уравнения
+ x2 =-1 (?3)
R?3=. Для уравнения
(1+ x)2 = x2 +2x+1 (?4)
R?4=(-?, +?).
Пример 3.7. Введем теперь отношения между уравнениями: назовем уравнения ? и ? равносильными ? ? ?, если R?= R?.
Из того, что равенство множеств есть отношение эквивалентности, легко получается, что отношение ? есть отношение эквивалентности. В школьном курсе изучаются преобразования уравнений, которые переводят уравнение ? в равносильное ему уравнение ?.
Пример 3.8. Уравнение ? не сильнее уравнения ?: ? => ?, если R? содержится в R?. В этом случае говорят что уравнение ? не слабее ?.
Отношение => рефлексивно и транзитивно, т.е. является квазипорядком. Из ? => ? и ? => ? вытекает равносильность ? ? ?. Обратно, из равносильности ? ? ? следует ? => ? и ? => ?. Таким образом, ? = =>=>-1.
Пример 3.9. На множестве уравнений, имеющих хотя бы один корень, легко определить естественное отношение толерантности - наличие общих корней: R? ? R? ? .
Пример 3.10. Можно ввести еще отношение эффективной равносильности. Уравнения ? и ? будем называть эффективно равносильными, если каждое из них можно преобразовать в другое с помощью конечного числа равносильных преобразований (разрешенных приемов из фиксированного списка).
В силу транзитивности отношения , любое число применения таких приемов не нарушают равносильности. Поэтому эффективно равносильные уравнения являются равносильными, что можно назвать включением одного отношения в другое.
Рассмотренные примеры отношений ярко иллюстрируют понятие отношения, в том числе и отношения эквивалентности, их свойства легко проверяются инструментом школьной математики и вполне наглядны. Поэтому, можно вводить понятие отношений старшим школьникам, занимающимся в математических кружках.
Заключение
Бинарные отношения - очень удобный и простой аппарат для решения весьма разнообразных задач. Язык бинарных (и более общих) отношений очень удобен и естествен для математической лингвистики, математической биологии и целого ряда других прикладных (для математики) областей. Это очень легко объяснить, если сказать, что геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов. Но насколько геометрическая теории графов известна и хорошо освещена в литературе, настолько скудно изложены алгебраические аспекты теории отношений.
А между тем алгебра отношений может быть рассказана вполне общедоступно. Так, чтобы ее могли усвоить старшие школьники, занимающиеся в математических кружках.
В данной работе были рассмотрены понятия отношения, эквивалентности, разобраны некоторые их свойства, приведены геометрические интерпретации и наглядные примеры.
Список использованных источников
1.Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. - М.: Наука. Физматлит, 1997. -368с.
2.Шрейдер Ю.А. Равенство. Сходство. Порядок. - М.: Наука, 1971.-256с.
.Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.-334с.
.Б.Л. ван-дер-Варден. Современная алгебра. в 2 т. Т.1.- М., ОГИЗ ГОСТЕХИЗДАТ, 1947 -339с.