Основы теории вероятности и математической статистики
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
µ; Событие B={мяч зависнет в воздухе} - невозможное; Событие C={мяч упадет на голову бросавшему} - случайное. Случайные события (явления) можно подразделить на следующие виды: совместные, несовместные, противоположные, равновозможные. О. 6: Два события называются совместными, если при одном испытании, появление одного из них не исключает появление другого. О. 7: Два события называются несовместными, если при одном испытании, появление одного из них исключает появление другого. Пример 4: Монета подбрасывается два раза. Событие A - {Первый раз выпал герб}; Событие B - {Второй раз выпал герб}; Событие C - {Первый раз выпал орел}. События A и B - совместные, A и C - несовместные. О. 8: Несколько событий образуют полную группу в данном испытании, если они попарно несовместны и в результате испытания одно из этих событий обязательно появится. Пример 5: Мальчик бросает монетку в игральный автомат. Событие A ={мальчик выиграет}; Событие B={мальчик не выиграет}; A и B - образуют полную группу событий. О. 9: Два несовместных события, образующих полную группу называются противоположными. Событие противоположное событию A обозначается . Пример 6. Делается один выстрел по мишени. Событие A - попадание; Событие - промах.
О. 10: События называются равновозможными, если есть основания считать, что одно из них не является более возможным, чем другое. Пример 7: В урне содержится 10 шаров: 5 синих и 5 красных. Наудачу извлекается один шар. Событие A ={извлеченный шар красный}; Событие B={извлеченный шар синий}; A и B - равновозможные события.
3. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности
. Понятие вероятности события О. 1. Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события в данном испытании. Выбор числового значения вероятности в конкретной задаче осуществляется либо при обработке результатов большого количества испытаний, либо предполагается теоретически (например по свойству симметрии).2. Классическое определение вероятности и его свойства Пусть в результате испытания может наступить конечное число n равновозможных элементарных событий (исходов), причем среди них имеются m таких исходов, которые ведут к появлению события A. Эти m событий называются благоприятствующими событию A.О. 2. (классическое определение) Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных событий благоприятствующих событию A к числу всех элементарных событий:
,
где n - общее число элементарных событий, - число элементарных событий благоприятствующих событиюA. Пример 1. Даны числа от 1 до 30. Наудачу выбирается одно число. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.Решение: n=30, А={1,2,3,5,6,10,15,30}, m=8, . Свойства вероятности. Вероятность достоверного события A равна единице, т. к; Вероятность невозможного событияA равна нулю, т. к. ; Вероятность случайного событияA есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т. к. 0<m<n, то . Недостатки классического определения. 1. Определение не применимо, если число элементарных исходов испытания бесконечно.
4. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности
Часто не возможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. 3. Трудно указать основания, позволяющие считать события равновозможными. О равновозможности исходов опыта заключают из соображений симметрии. Для преодоления 3 недостатка вводятся статистические вероятности, а для преодоления 1 недостатка - геометрические (вероятности попадания точки в область). Рассмотрим более подробно понятие статистической вероятности. 3. Статистическое определение вероятности. Относительная частота события
Пусть произошло n испытаний, причем в этих испытаниях событие A появилось m раз. Число m называют абсолютной частотой события A. О. 3. Относительной частотой P*(A) события A называется отношение числа испытаний, в которых событие A появилось к общему числу проведенных испытаний
,
где n - общее число испытаний, m - число появлений событияA. Пример 2. Среди 1000 новорожденных оказалось 515. Чему равна частота рождения мальчиков. Событие A - родился мальчик. Относительная частота события A: .
Вероятность события может быть посчитана без проведения испытания, а относительная частота считается только в том случае, если испытание проведено фактически. Если в одинаковых условиях проводят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает следующее свойство: в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. О. 4. (статистическое определение) Вероятностью события A в данном испытании называется число P(A), около которого группируется значения относительной частоты P*(A) при больших n Р(А)?Р*(А) прип>?. Недостатки статистического определения. Неоднозначность статистической вероятности.
5. Понятие комбинаторики. Основные правила комбинаторики
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.
Использование формул комбинаторики значительно облегчает проведение расчетов в теории вероятностей. 2. Основные правила комбинаторики Пусть А1,А2,…,Аk - это элементы заданного конечного множества. Правило суммы: Если элемент A1 можно выбрать n1 способами, A2 можно выбрать n2 спосо?/p>