Анализ преобразования сигналов ARC-цепями
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
Курсовая работа на тему
Анализ преобразования сигналов ARC - цепями
Введение
Электрические фильтры представляют собой частотно-избирательные электрические цепи. Они пропускают сигналы определенных частот и задерживают (ослабляют) сигналы других частот. Современные активные фильтры строят на операционных усилителях.
Цель данной курсовой работы - анализ преобразования сигналов ARC-цепями. В работе приводятся основные уравнения фильтров второго рода, методы определения коэффициентов и других параметров ARC - цепей.
1. Анализ в частотной области
.1 Определение операторной функции ARC-фильтра
Операторная функция передачи фильтров второго порядка имеет следующий вид
(1)
здесь резонансная частота ?p является масштабом или нормирующим множителем по оси времени и определяется по формуле
(2)
- нормированный по резонансной частоте ?p оператор s имеет тот же смысл, что и оператор Лапласа p;
Q - добротность фильтра:
(3)
Из формулы (1) следует, что фильтры второго порядка определяются четырьмя независимыми коэффициентами:
добротностью Q (определяющей основные характеристики фильтра);
В0, В1 и В2 соответственно при нулевой, первой и второй степени s числителя, определяющими тип фильтра, а также его частотные и временные свойства
(4)
Тип фильтра определяется исключительно коэффициентами числителя, что отражено в табл. 1.
Первые четыре типа фильтров являются основными.
Таблица 1
№ п/пТип фильтраКоэффициенты BkB0B1B21 2 3 4 5 6ФНЧ Полосовой Фильтр ФВЧ Заграждающий фильтр (ЗФ) Фазовый корректор Амплитудный корректорB0?0 B0=0 B0=0 B0?0 B0=k B0=1B1=0 B1?0 B1=0 B1=0 B1=-k/Q B1=k/QB2=0 B2=0 B2?0 B2?0 B2=k B2=1
Схема, для которой будет производиться расчет, показана на Рис.1.
Рис 1. Принципиальная схема ARC-фильтра второго порядка.
Преобразуем данную схему в эквивалентную операторную
Рис.2. Эквивалентная операторная схема замещения фильтра второго порядка
Входное напряжение U1(p) поступает на неинвертирующий вход ОУ, поэтому выходное напряжение U2(p) совпадает по знаку с входным и ku=kус.
Базовым узлом 0 считается клемма земля (+). Входной зажим принят за узел 1, а выходной - за узел 2. На рис. 2 номера узлов обозначены цифрами в кружках.
Здесь напряжения первого U1(p) и второго U2(p) узлов считаются известными, поэтому узловые уравнения составляются только для остальных узлов, в данном случае - для третьего и четвертого. Таким образом, узловые уравнения (по методу узловых потенциалов) имеют вид:
(5)
Для схемы замещения рис. 2 справедливо равенство выходного напряжения и напряжения ИНУН, то есть U2(p)=kuU4(p).
Подставив это соотношение в систему (5), из второго уравнения получим
Тогда первое уравнение системы (5) принимает вид
Откуда получается операторный коэффициент передачи по напряжению:
(6)
Обычно операторную функцию цепи представляют в канонической форме (1), когда коэффициент при старшей степени переменной р в знаменателе равен 1. Для этого числитель и знаменатель Hu(р) делится на коэффициент при старшей степени р в знаменателе. В данном случае получится
(7)
что соответствует выражению (1)
Это значит, что коэффициент передачи по напряжению Hu(р) соответствует ФВЧ.
Из сравнения этих двух выражений следует
(8)
Таким образом, операторная функция фильтра имеет вид:
(9)
Добротность фильтра
.
1.2 Рассчитаем резонансную частоту fp и добротность Q цепи. Аналитически исследуем частотные характеристики полученного ARC-фильтра, определив частоту (частоты) среза и полосы пропускания и задерживания. Построим графики АЧХ и ФЧХ.
[См];
[См];
C1=98*10-9 [Ф];
C2=4*10-9 [Ф];
K=11.
Резонансная частота
[рад/с],
[Гц].
Добротность
,
b2=11,
(10)
Комплексная функция вида получается заменой переменной p на j? в функции (10). Она определяет частотные свойства фильтра.
Заменим в формуле (1) переменную s на (или p на j?), получим АЧХ и ФЧХ любых фильтров второго порядка:
АЧХ
(11)
ФЧХ:
(12)
В АЧХ и ФЧХ аргументом является нормированная по ?р частота или частота, выраженная в относительных единицах: . В дальнейшем, если не оговорено обратное, будем использовать относительную частоту и обозначать ее без нижних индексов ое, то есть просто ?.
В пункте 1.1. было получено, что для исследуемого фильтра , b2=11. Подставляя данные в выражения (11) и (12) получаем АЧХ и ФЧХ данного фильтра
АЧХ: (13)
ФЧХ: (14)
Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика фильтра.
Для ФВЧ экстремальное значение частоты ?m рассчитывается по формуле
при , [рад/с]
При этом максимальное значение коэффициента передачи по напряжению равно
при ,
Полоса пропускания определяется значением АЧХ на уровне от наибольшего значения:
Частота, соответствующая значению K1 АЧХ, и будет частотой среза ?ср. Эту частоту можно найти графически , либо решая уравнение (13) относительно ? при Ku=K1:
?ср=28568 [рад/с]