Анализ преобразования сигналов ARC-цепями
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
>
Таким образом, полоса пропускания фильтра ?>28568 рад/с, полоса среза ?ср<28568 рад/с.
Учитывая все вышесказанное, покажем на графике полосу пропускания и среза
Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика с линией среза
По формуле (14) построим график ФЧХ, по оси Y отложим фазу, измеряемую в радианах:
Рис. 5. Фазочастотная характеристика фильтра.
1.3 Рассчитаем и построим амплитудный и фазный спектры сигнала (воздействия)
Периодический сигнал - воздействие f(t) - может быть представлен бесконечной суммой синусоид кратных частот - рядом Фурье:
, k=1,2,3…(15)
Периодическая функция времени обладает свойством повторения формы через минимальный промежуток времени Т, называемый периодом функции
Период определяет частоту основной гармоники бесконечной суммы, которой кратны все слагаемые
Коэффициенты ряда (15) определяются по формулам Фурье
(16)
Объединение синуса и косинуса одной частоты в выражении (15) дает другую форму ряда Фурье:
(17)
где ; .
В теории цепей удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье, которую можно получить из ряда (15) заменой тригонометрических функций комплексными экспонентами с помощью формул Эйлера:
,
.
После группировки слагаемых и простых преобразований получается
фильтр цепь амплитудный фазный
(18)
здесь комплексная амплитуда k-й гармоники
; (19)
Вещественная часть и модуль мнимой части комплексной амплитуды являются коэффициентами при косинусе и синусе соответственно.
Если обозначить сопряженную амплитуду через комплексную амплитуду с отрицательным индексом
(20)
то обе суммы в выражении (18) можно заменить одной и получить ряд Фурье в комплексной форме:
(21)
Комплексные коэффициенты определяются после подстановки формулы (19) в (16) выражением
(22)
где .
С учетом выражений (19) и (22) можно получить
(23)
Вещественность означает, что ряд состоит только из косинусных гармоник, а функция времени является четной.
Амплитудный спектр
(24)
Его огибающая изменяется по закону . Узлы огибающей ?у располагаются при значениях частоты, обращающих синус в нуль (кроме частоты ? = 0):
Число гармоник на интервале между двумя узлами равно отношению , называемому скважностью импульсов.
На вход ARC-фильтра будем действовать периодическим сигналом прямоугольной формы, имеющего следующие характеристики:
Скважность: s =4
Амплитуда, В: U=10
Порядок Фурье: n=3
Будем исследовать реакцию фильтра при воздействии на него сигнала частотой, лежащей в полосе пропускания. Для этого выберем частоту сигнала воздействия f=fрез, где fрез - резонансная частота данного фильтра, то есть частота сигнала воздействия f=5686 Гц.
Усеченный ряд Фурье функции в соответствии с (24) имеет вид
(25)
Используя формулу (25) построим график суммы
Рис.6. График суммы.
Из определения частотной функции цепи следует, что амплитуда и начальная фаза любой гармоники реакции может быть найдена из соотношений:
(26)
(27)
Или в комплексной форме
(28)
Зная амплитудный и фазный спектры воздействия, а также АЧХ и ФЧХ , легко определить амплитудный по формуле (26) и фазный по формуле (27) спектры реакции или комплексные амплитуды гармоник реакции по формуле (28).
Комплексный спектр воздействия определяется из соотношения (24)
(29)
Используя формулу (29) построим амплитудный и фазовый спектры воздействия
Рис.7. Амплитудный спектр воздействия
Рис.8. Фазный спектр воздействия.
1.4 Рассчитаем амплитудный и фазный спектры реакции
В пункте 1.3 были получены амплитудный и фазный спектры сигнала воздействия. Определим, какова будет реакция исследуемого ARC - фильтра, если на его вход воздействовать периодическим сигналом (см. п.п. 1.3).
Используя формулы (13), (26) и (29) построим амплитудный спектр реакции:
Рис. 9. Амплитудный спектр реакции
Из графика видно, что при k=1 наблюдается максимальная пропускная способность фильтра. Это обусловлено тем, что ???k?, где ?? - частота основной гармоники.
Используя формулы (14), (27) и (29) построим фазовый спектр реакции:
Рис. 10. Фазный спектр реакции
1.5 Построить график функции времени реакции цепи на заданное воздействие
По амплитудному и фазному спектрам реакции можно построить соответствующую им функцию времени по формуле (17)
(30)
Рис.11. График функции времени.
На рис.11 показаны графики сигналов воздействия (UB(t)) и реакции (U(t)) ARC - фильтра.
.6 Построим графики амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временные функции воздействия и реакции с периодом в два раза больше
В п.п. 1.3. - 1.5 мы исследовали реакцию фильтра при воздействие на него периодическим сигналом, частотой f=fрез, где fрез - резонансная частота данного ARC - фильтра. По условию данного пункта примем частоту сигнала воздействия f=0,5*fрез, то есть f=2843 Гц.
Для построения графиков амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временных функций воздействия и реакции воспользуемся формулами, используемые в