Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа
Дипломная работа - Радиоэлектроника
Другие дипломы по предмету Радиоэлектроника
?рофиля определяет радиус сердцевины a. Такая форма профиля показателя преломления представляет практический интерес, так как является хорошим приближением реального случая, когда в процессе изготовления волоконных световодов происходит взаимная диффузия материала сердцевины и оболочки.
Подставляя (2.13) в (2.10) и (2.12), из условия d2/dr0 = 0 находим величину
(2.14)
Выражение (2.14) имеет физический смысл только при V >>1 (r0 - положительно), однако это не уменьшает его практической ценности, так как при V 1 вблизи оси световода распространяется лишь малая доля мощности основной моды. Подставляя r0 в (2.12) получаем выражение для
, (2.15)
где
(2.16)
Размер пятна r0 и постоянная распространения полностью характеризуют поле основной моды, а следовательно, и передаточные свойства одномодовых световодов.
Распределение плотности мощности или профиль интенсивности S(r) имеет вид :
, (2.17)
где , - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.
С увеличением расстояния от оси световода интенсивность падает экспоненциально. При меньших значениях V спад происходит медленнее, поэтому чем меньше V, тем меньшая часть полной мощности распространяется вблизи оси волокна. Доля мощности, распространяющейся в интервале от 0 до r, равна
(2.18)
Таким образом в световодах с малым V распространяющееся излучение захватывает большую область поперечного сечения. Поскольку в практических ситуациях такое положение нежелательно, ограничение на V >1 (2.14) не важно. Практический интерес представляет определить ширину a профиля показателя преломления, при которой мощность пучка света будет наиболее сильно концентрироваться вблизи оси волокна при фиксированных значениях и длины волны излучения, т.е. определить значение радиуса сердцевины, обеспечивающего минимальный размер пятна r0. Дифференцируя (2.14) по a и учитывая, что согласно (2.16) V пропорционально a, получим оптимальное значение a, соответствующее V=2, т.е.
) (2.19)
При V = 2 имеем r0 = a, т.е. распределение интенсивности S(r) совпадает iормой профиля показателя преломления.
В случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления:
(2.20)
( S =1, f = 0 при r a и S =0, f =1 при r > a).
Следуя методике определения r0 и для световодов с гауссовым профилем, получаем
(2.21)
(2.22)
Все физические процессы имеющие место в волокнах с гауссовым профилем преломления, справедливы и для волокна со ступенчатым профилем. Радиус сердцевины a, обеспечивающий максимальную концентрацию света в волокне, определим в данном случае из условия V = exp(1/2) 1.65 что соответствует
(2.23)
Таким образом, плотность мощности в ступенчатом волоконном световоде выше на 17%. Доля мощности, распространяющейся в пределах радиуса r, будет равна
(2.24)
Получим основные характеристики одномодовых световодов на основе выводов сделанных ранее. Рассмотрим амплитуду излучения и мощность распространяющихся мод.
Для j - й вперёд и назад распространяющихся мод полная мощность определяется соотношениями :
(2.25)
, (2.26)
где Nj , N-j - параметры нормировки.
Полная мощность, возбуждённая во всех направляемых модах, будет равна
(2.27)
Если световод является слабонаправляющим и круглым, а источники тока излучают вдоль оси x поперечного сечения световода, то мощность в каждой моде равна
(2.28)
где l - скалярные постоянные распространения;
l- решение скалярного волнового уравнения (2.11).
Для определения мощности излучения воспользуемся приближением свободного пространства, суть которого сводится к замене слабонаправляющего световода неограниченной однородной средой с показателем преломления оболочки n2 . В большинстве практических случаях излученная мощность достаточно точно описывается в рамках этого приближения.
Решение уравнений Максвелла для полного поля в световоде с произвольным показателем преломления, согласно методике, приведённой в [2], можно выразить через векторный потенциал А, декартовы составляющие которого удовлетворяют уравнению
, (2.29)
где - распределение плотности тока; 2 - скалярный оператор Лапласа. Решение уравнения (2.29) для каждой составляющей выражается через функцию Грина в виде
, (2.30)
где V - объём, в котором распределены источники тока;
- радиусы-векторы точки наблюдения поля и точки расположения источника соответственно (рис 2.1.а).
Функция Грина находится путём решения соответствующего уравнения для свободного пространства с показателем преломления n2 и имеет вид
, (2.31)
где , а - угол между векторами и .
Подстановка (2.31) в (2.30) приводит к выражению
, (2.32)
где
a)
б)
Рис 2.1. Возмущение поля в точке P источником с плотностью тока J в точке Q (а) и iерические полярные координаты точек Р и Q (б).
Достаточно далеко в оболочке поля всех источников являются локально пл