Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа
Дипломная работа - Радиоэлектроника
Другие дипломы по предмету Радиоэлектроника
n1 - показатель преломления сердцевины волокна, иначе n(a)= n1 при а<r, где r - радиус сердцевины волокна.
Таким образом из (2.2) и (2.3) имеем:
(2.4)
В этом приближении не учтены все поляризационные эффекты, обусловленные неоднородностями, поскольку в рамках приближения слабонаправляющего световода поперечные поля всех мод ортогональны друг другу. В частности, поляризованная вдоль оси x чётная основная мода не может быть возбуждена нечётной или поляризованной вдоль оси y основной модой.
Подставив в (2.4) выражение для электрического поля в гауссовом приближении рассмотренном в [1], получим следующее выражение для плотности тока, если на неоднородность в круглом световоде падает основная мода, поляризованная вдоль оси x :
, (2.5)
где - фундаментальное решение скалярного волнового уравнения для поля основной моды, определяемой в зависимости от профиля показателя преломления .
Вследствие того что, волоконные световоды, используемые в волоконной гироскопии, являются слабонаправляющими, т.е. относительная разность между максимальным и минимальным значениями профиля показателя преломления n ( r ) мала, векторы Е и H аппроксимируются решениями скалярного волнового уравнения. Постоянная распространения основной моды, направляемой по световоду, ограничивается интервалом между двумя экстремумами, которые определяются значениями для плоских волн. В бесконечных средах с показателями преломления n1 и n2 :
, (2.6)
где n1 , n2 - максимальное и минимальное значения показателя преломления n ( r ); - длина волны в вакууме.
В силу слабой канализации волн в световодах, т.е. n1 n2 из (2.6) следует 2 n / , что совпадает с постоянной распространения плоской волны в направлении Z в бесконечной среде с показателем преломления n2 n n1 .
Таким образом, основная мода волоконного световода является квазипоперечной электромагнитной (Т) волной. В простейшем случае - это волна, однородно поляризованная только в одном направлении в отличии от мод высших порядков. Если обозначить направление поляризации через Х, поле в световоде можно представить в виде
, (2.7)
где - магнитная проницаемость среды;
= - диэлектрическая проницаемость среды;
- диэлектрическая проницаемость вакуума.
Здесь неявно подразумеваем временную зависимость . Компоненты поля Ey , Ez , Hx , Hz не учитываются поскольку они пренебрежимо малы, описывает пространственное изменение поля в плоскости, перпендикулярной оси световода. Следует отметить, что отражение плоской волны от границы раздела диэлектрических сред с близкими параметрами практически не чувствительно к поляризации падающей волны. Соответственно, и пространственное изменение поля должно быть нечувствительно к поляризационным эффектам, поэтому - решение скалярного волнового уравнения, т.е.
, (2.8)
где:
n ( r ) - профиль показателя преломления; - длина волны в вакууме.
Таким образом, основная мода описывается решением уравнения (2.8), соответствующим наибольшему и , не зависящей от угла . Для регулярного световода n ( r ) не зависит от длины, в случае нерегулярного световода n=n(x,y,z).
В практически интересных случаях применяют в одномодовых световодах оптические волокна как со ступенчатым, так и градиентным профилем. При этом наибольшее распространение получили оптические волокна с гауссовым и ступенчатым профилями. Эти волокна целесообразно применять и в волоконной гироскопии поэтому остановимся на их анализе подробнее.
При изготовлении световодов в следствии диффузии границы между оболочкой и сердцевиной реальные профили могут отличаться как от ступенчатого, так и от гауссова, занимая некоторое промежуточное положение (сглаженный ступенчатый профиль). При этом профиль показателя преломления представляют в виде :
(2.9)
где - параметр высоты профиля.
Численные решения волнового уравнения для ступенчатого и степенного профилей волокна [2] показывают, что форма (r) примерно гауссова. В соответствии с этими исследованиями поле моды HE11 можно представить в виде:
(2.10)
где r0 - размер светового пятна, определенный вариационным методом в [2].
Для решения волнового уравнения умножим его на
и воспользуемся тождеством:
(2.11)
После интегрирования в пределах от 0 до получаем
(2.12)
Кроме (2.12) появляется дополнительный член ,
который вычисляется при значениях r = 0 и . Этот член равен нулю, поскольку конечно при r = 0 и экспоненциально стремиться к нулю при r .
Размер пятна r0 выбирается из условия обеспечения наибольшего , которое соответствует основной моде. Подставляя приближенное выражение (2.10) в (2.12), можно определить r0 из условия d2/ dr0 = 0. Приближение для постоянной распространения получается далее подстановкой найденного r0 в выражение (2.12). Таким образом, зная r0 и можно полностью характеризовать поле с помощью формул (2.7) и (2.10). Используем полученную методику для определения параметров r0 и для профилей применяемых в волокнах для оптической гироскопии.
В случае гауссова профиля показателя преломления:
, (2.13)
где .
Таким образом, n(r) с ростом r от 0 до уменьшается плавно от n1 до n2. Поскольку чёткой границы между сердцевиной и оболочкой нет, то форму ?/p>