Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |   ...   | 49 |

Чтобы прийти к противоречию, достаточно построить симплициальное отображение : In Rn, ограничение которого на In совпадает с h и для которого deg(, 0) - нечётное число. Действительно, - с одной стороны deg(h, 0) = 0; с другой стороны, по теореме 8.deg(, 0) = deg(h, 0).

Ясно, что если : In Rn - нечётное отображение и 0 - его регу - - лярное значение, то deg(, 0) - нечётное число. Действительно, -1 (0) - состоит из точки 0 и пар вида (x, -x), а чётность суммы 1 зависит лишь от количества слагаемых.

Построить нечётное отображение совсем просто. Нужно взять внутренние вершины симметричной триангуляции, полученной при построении отображения h, и произвольно отобразить симметричные вершины в симметричные точки Rn. При этом для вершины v In полагаем (v) = h (v). Затем продолжаем отображение по линейности.

Остаётся последняя чисто техническая трудность: точка 0 является вершиной триангуляции, поэтому 0 = (0) - не регулярное значение.

- Сделать точку 0 регулярным значением можно следующим образом.

Пусть W - объединение всех симплексов с вершиной 0. Можно считать, - что W In =. Для вершины v W положим (v) = v. Тогда |W - - тождественное отображение, поэтому оно останется симплициальным при любой триангуляции множества W. Теперь малым шевелением вершин, не принадлежащих In, можно добиться того, что точка 0 Rn будет регулярным значением отображения.

Приведём ещё одно утверждение, эквивалентное теореме Борсука - - Улама.

Т е о р е м а 8.16. Пусть m > n 1. Тогда не существует нечётного отображения f : Sm Sn.

130 Глава III. Топологические пространства Действительно, если m > n 1, то нечётное отображение Sm Sn является также и нечётным отображением Sm Sn Rn+1 \ {0} Rm \ {0}.

Поэтому из теоремы БорсукаЦУлама следует теорема 8.16. Наоборот, - по нечётному отображению Sm Rm \ {0} легко построить нечётное отображение Sm Sm-1.

З а м е ч а н и е. Весьма простое доказательство теоремы Борсука - - Улама приведено в [95]. Приведённое нами доказательство теоремы 8.имеет много общего с [61].

З а д а ч а 8.4.* а) (лемма Такера [127]) Пусть задана такая триангуляция n-мерного куба In, что его граница In триангулирована симметрично относительно центра. Предположим, что вершины этой триангуляции помечены числами 1, 2,..., n, причём если v In - - вершина триангуляции, то вершины v и -v помечены числами, сумма которых равна 0. Докажите, что тогда существуют смежные (т. е. соединённые ребром) вершины триангуляции, помеченные числами, сумма которых равна 0.

б) Докажите теорему БорсукаЦУлама с помощью леммы Такера.

- З а м е ч а н и е. Чисто алгебраическое доказательство теоремы БорсукаЦУлама для полиномиальных отображений приведено в [16].

- 8.9. Следствия и обобщения теоремы БорсукаЦУлама - Из теоремы БорсукаЦУлама можно вывести много интересных след - ствий. Одно из них Борсук привёл в той самой статье [38], в которой он доказал теорему БорсукаЦУлама. Но ранее эту теорему уже доказали - Люстерник и Шнирельман [9, с. 26].

Т е о р е м а 8.17 (ЛюстерникЦШнирельман). Пусть сфера Sn по - крыта замкнутыми множествами F1,..., Fn+1. Тогда одно из них содержит пару диаметрально противоположных точек сферы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через -Fi множество, симметричное Fi относительно центра сферы. Покажем, что если Fi (-Fi) = при i = 1,..., n, то Fn+1 (-Fn+1) =.

Применив лемму Урысона (см. с. 67) к непересекающимся замкнутым множествам F1 и -F1, лежащим в Rn+1, можно построить непрерывную функцию 1 : Sn [0, 1], для которой 1 (F1) = и 1 (-F1) = 1 (лемма Урысона даёт функцию f, для которой f(F1) = -и f(-F1) = 1; мы полагаем 1 = (1 + f) 2). Аналогично построим функ/ ции 2,..., n. Рассмотрим отображение : Sn Rn, заданное формулой (x) = (1 (x),..., n (x)). Согласно теореме БорсукаЦУлама су - ществует точка x0 Sn, для которой (x0) = (-x0). Если x Fi, i = 1,..., n, то i (x) - i (-x) = 1, поэтому i (x) = i (-x). Следо з 8. Симплициальные комплексы n n n вательно, x0 Fi и x0 (-Fi) = - Fi. Поэтому x0 Fn+1 и i=1 i=1 i=-x0 Fn+1.

Т е о р е м а 8.18. Пусть F1,..., Fn - измеримые подмножества - Rn. Тогда существует гиперплоскость, которая делит каждое множество Fi на две части одинакового объёма.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x Sn-1 Rn и центр сферы Sn-расположен в начале координат. Для c R положим c (x) = {y Rn | (y, x) = c}.

егко проверить, что для каждого вектора x Sn-1 существует единственное число c R, для которого гиперплоскость c (x) делит F1 на две части равного объёма. Положим 1 (x) = c. Для x и -x гиперплоскость, делящая F1 пополам, одна и та же. Ясно также, что -c (-x) = c (x), поэтому 1 (-x) = -c. Аналогично определим функции 2,..., n и рассмотрим отображение : Sn-1 Rn-1, заданное формулой (x) = n (x) - 1 (x),..., n (x) - n-1 (x).

Ясно, что (x) = -(-x). Поэтому по теореме БорсукаЦУлама суще - ствует точка x0 Sn-1, для которой (x0) = 0, т. е. 1(x0) = 2 (x0) =... = = n (x0) = c. Гиперплоскость c (x0) обладает требуемыми свойствами.

егко доказать, что длина замкнутой центрально симметричной кривой на единичной сфере Sm не меньше 2 (центрально симметричная кривая содержит две диаметрально противоположные точки, а длина любой дуги, соединяющей две диаметрально противоположные точки, не меньше ). Это утверждение имеет следующее обобщение.

З а д а ч а 8.5.* [34] Пусть Sn и Sm - единичные сферы, : Sn - Sm - нечётное отображение. Докажите, что тогда n-мерный объём - множества (Sn) не меньше n-мерного объёма Sn.

Из теоремы БорсукаЦУлама можно также вывести утверждение, ко - торое является нелинейным обобщением известной теоремы Радона:

Если множество A Rn содержит по крайней мере n + 2 точки, л то в A можно выбрать непересекающиеся подмножества B и C так, что их выпуклые оболочки будут иметь общую точку. При доказательстве теоремы Радона достаточно ограничиться случаем, когда A состоит ровно из n + 2 точек, поэтому её можно сформулировать следующим образом: Пусть f : n+1 Rn - линейное отображение. Тол - гда в n+1 можно выбрать две непересекающиеся грани, образы которых пересекаются. Нелинейное обобщение этой теоремы заключается в том, что линейное отображение f можно заменить на произвольное непре132 Глава III. Топологические пространства рывное отображение f. А именно, справедливо следующее утверждение, которое мы сформулируем в виде задачи.

З а д а ч а 8.6.* [33] а) Пусть P - невырожденный (т. е. содержа - щий некоторый (n + 1)-мерный шар) выпуклый многогранник в Rn+1, f : P Rn - непрерывное отображение. Докажите, что тогда существу - ют непересекающиеся грани) многогранника P, образы которых пересекаются.

б) Докажите, что если f : n+1 Rn - непрерывное отображение - n+ и n,..., n - n-мерные грани симплекса n+1, то f(n) =.

- 1 n+2 i i=з 9. CW-комплексы Для гомотопической топологии во многих отношениях наиболее удобны CW -комплексы, введённые Уайтхедом [140]. CW -комплексы строятся из замкнутых дисков Dn посредством склейки их краёв Dn = Sn-1.

Поэтому сначала мы обсудим общую операцию приклеивания по отображению.

9.1. Приклеивание по отображению Приклеивание пространства X к пространству Y по отображению : A Y, где A X, определяется следующим образом. Рассмотрим дизъюнктное объединение X Y топологических пространств X и Y.

Введём в X Y следующее отношение эквивалентности: a (a) для всех a A. Факторпространство по этому отношению эквивалентности обозначают Y X.

Естественная проекция Y Y X всегда инъективна, а естественная проекция X Y X инъективна лишь в том случае, когда отображение : A Y инъективно; ограничение естественной проекции на X \ A инъективно.

Множество U Y X открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда открыты (замкнуты) его прообразы в X и Y при естественной проекции p : X Y Y X.

П р и м е р. Пусть X = R, A = {x R | x < 0}, Y = R и : A Y - - тождественное отображение, т. е. (x) = x для всех x A (рис. 50). Тогда пространство Y X нехаусдорфово: образы точек 0 X и 0 Y в Y X различны, но любые их окрестности пересекаются.

) Здесь имеются в виду не только грани максимальной размерности n, но и грани меньшей размерности.

з 9. CW -комплексы Рис. 50. Приклеивание по отображению Нехаусдорфовость, возникшая в примере 9.1, связана с тем, что склейка производится по незамкнутому множеству.

Т е о р е м а 9.1. Пусть X и Y - нормальные топологические - пространства, A X - замкнутое подмножество и : A Y - - - непрерывное отображение. Тогда пространство Y X нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего докажем, что любая точка c Y X является замкнутым множеством. Если c p(X \ A) или c p(Y) \ p(A), то p-1 (c) состоит из одной точки (лежащей в X или в Y). Если же c p(A), то прообраз c в Y состоит из одной точки c, а прообразом c в X служит множество -1 (c), которое замкнуто, потому что отображение непрерывно.

Пусть C1 и C2 - замкнутые непересекающиеся подмножества про - странства Y X. Тогда множество C = C1 C2 замкнуто и функция f : C I, принимающая на C1 значение 0, а на C2 значение 1, непрерывна. Поэтому достаточно доказать, что любую непрерывную функцию f : C I, где C Y X - замкнутое подмножество, можно продолжить - на всё пространство Y X.

Пусть C Y X - замкнутое множество, f : C I - непрерывная - - функция. Рассмотрим замкнутые множества CX = p-1 (C) X и CY = = p-1 (C) Y. На этих множествах функция f определяет функции p f p f fX : CX C I и fY : CY C I. По теореме Титце функцию fY можно продолжить до функции FY : Y I. На множестве A функция FY FY определяет функцию fA : A Y I. На множестве CX A непрерывные функции fX и fA совпадают, поэтому они определяют непрерывную функцию fXA : CX A I.

Теперь настала пора воспользоваться замкнутостью множества A.

Нам нужно продолжить функцию fXA, определённую на множестве CX A, где CX - замкнутое множество. По условию множество A замкну - то, поэтому множество CX A тоже замкнуто. По теореме Титце функцию fXA можно продолжить до функции FX : X I. При этом если x A, то FX (x) = FY ((x)). Поэтому функции FX и FY определяют функцию F на Y X. Из непрерывности функций FX и FY следует непрерывность 134 Глава III. Топологические пространства функции F. По построению F|C = f, т. е. F - требуемое продолжение - функции f.

9.2. Определение CW-комплексов Топологическое пространство X называют CW -комплексом, ес ли X = Xi, где X0 - дискретное пространство и пространство Xi+ - i=получается посредством приклеивания к Xi дизъюнктного объедине i+ния (i + 1)-мерных дисков D по непрерывному отображению A i i i+: S Xi, где S = D. При этом должны выполняться свойA ства (c) и (w), которые мы сейчас сформулируем.

i+1 i+Назовём образы D и int D при естественной проекции в Xi+ X, соответственно, замкнутой и открытой клетками размерности i + 1. Свойства (c) и (w), о которых шла речь, таковы:

(c) каждая замкнутая клетка пересекает лишь конечное число открытых клеток;

(w) множество C X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуты все пересечения C с замкнутыми клетками.

Отметим, что если число клеток конечно, то свойства (c) и (w) выполняются автоматически.

Обозначения (c) и (w) - это сокращения от closure finite и weak - л л topology.

Открытые клетки попарно не пересекаются и покрывают всё пространство X.

Пространство Xi называют i-мерным остовом CW -комплекса X.

Если у CW -комплекса X есть клетки размерности n и нет клеток размерности более n, то X называют n-мерным CW -комплексом.

i+Естественную проекцию i+1 : D Xi+1 X называют характе ристическим отображением клетки.

П р и м е р. Пусть X0 = S1 = D2 - дискретный набор точек; X1 = - = X0, а X2 = X получается приклеиванием D2 к X0 по тождественному отображению S1 S1. В таком случае для пространства X выполняется свойство (w), но не выполняется свойство (c).

П р и м е р. Пусть Sn - окружность радиуса 1 n с центром - / (0, 1 n), X = Sn (рис. 51); топология пространства X индуцирована / n=из R2. Рассмотрим естественное взаимно однозначное отображение f : X Y, где Y - CW -комплекс с одной 0-мерной клеткой и приклеен - з 9. CW -комплексы ными к ней (обоими концами) клетками Dn, n = 1, 2,... Отображение f не является гомеоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем на каждой окружности Sn точку xn, отличную от начала координат. Пусть F - подмножество в X, - состоящее из точек xn, n = 1, 2,... Множество F не замкнуто, потому что lim xn = (0, 0) F.

n С другой стороны, множество f(F) замкнуто, потому что его пересечение с каждой замкнутой 1-мерной клеткой состоит ровно из одной точки.

Одно из важнейших достоинств CW -комплексов состоит в том, что их непрерывные отобРис. 51. Пространражения можно строить индукцией по остовам, ство, не гомеоморфнепрерывно продолжая внутрь клетки отобраное CW -комплексу жение, заданное на её границе. При этом обязательно получится непрерывное отображение f : X Y всего CW -комплекса, потому что множество f-1 (C) замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с любой замкнутой клеткой.

Подпространство A X, где X - CW -комплекс, называют подком - плексом, если A замкнуто в X и является объединением некоторого семейства открытых клеток.

Приведём теперь некоторые важнейшие примеры CW -комплексов.

Сфера Sn является CW -комплексом с одной 0-мерной клеткой и с одной n-мерной клеткой. На Sn можно также ввести структуру CW -комплекса с двумя клетками каждой размерности от 0 до n. Это легко сделать по индукции: к экватору Sn-1 Sn приклеивается северное полушарие и южное полушарие.

Вещественным проективным пространством RPn называют факторпространство Rn+1 \ {0} по следующему отношению эквивалентности: x x для всех R \ {0}. Заменив в этом определении R на C, получим определение комплексного проективного пространства CPn.

Точке (x1,..., xn+1) Rn+1 \ {0} соответствует точка (x1 :... : xn+1) RPn; числа x1,..., xn+1 называют при этом однородными координатами точки RPn. Для CPn обозначения аналогичны. Отображение (x1 : x2) x1 x2 является гомеоморфизмом множества RP1 \ {(1 : 0)} / на R1, поэтому RP1 S1. Аналогично доказывается, что CP1 S2.

Чтобы ввести на RPn структуру CW -комплекса, рассмотрим отображение f : Dn RPn, заданное формулой 2 f(x1,..., xn) = x1 :... : xn : 1 - x1 -... - xn.

136 Глава III. Топологические пространства Образ границы Sn-1 Dn лежит в RPn-1 = {(x1 :... : xn : xn+1) RPn : xn+1 = 0}.

Кроме того, отображение f гомеоморфно отображает int Dn на RPn \ RPn-1; обратное отображение имеет вид (x1 :... : xn+1) (-1x1xn+1,..., -1xnxn+1), 2 2 где 2 = xn+1 (x1 +... + xn), > 0. Таким образом, RPn получается из RPn-1 приклеиванием одной клетки размерности n.

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |   ...   | 49 |    Книги по разным темам