Geum.ru
   Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 49 | [Эта страница заменяет титульный лист, изготовленный издательством] В. В. ПРАСОЛОВ ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ Москва Издательство МЦНМО 2004 ББК 22.15 Издание осуществлено при поддержке РФФИ УДК 515.14 (издательский проект № 02-01-14081).

П70 Прасолов В. В.

П70 Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. - - М.: МЦНМО, 2004. 352 c. ISBN 5-94057-072-0 Ч Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны.

В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода.

Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии.

Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями.

Ил. 150. Библиогр. 149 назв.

ББК 22.15 Прасолов Виктор Васильевич Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.

Редактор: Скопенков А. Б. Корректор: Коробкова Т. Л.

ицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 5.04.2004 г.

1/16.

Формат 60 90 Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 22. Тираж 1000 экз.

Заказ № Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП Типография ДНаукаУ.

119099, Москва, Шубинский пер., 6.

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга, л Большой Власьевский пер., д. 11 Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru й В. В. Прасолов, 2004.

ISBN 5-94057-072-0 й МЦНМО, 2004.

Оглавление Некоторые обозначения......................... Предисловие................................ Основные определения.......................... Глава I. Графы............................. з 1. Топологические и геометрические свойства графов....... 1.1. Планарные графы..................... 1.2. Формула Эйлера для планарных графов........ 1.3. Вложения графов в трёхмерное пространство..... 1.4. k-связные графы..................... 1.5. Теорема Штейница.................... з 2. Гомотопические свойства графов................. 2.1. Фундаментальная группа графа............. 2.2. Накрытия 1-мерных комплексов............ 2.3. Накрытия и фундаментальная группа.......... з 3. Инварианты графов......................... 3.1. Хроматический многочлен................ 3.2. Многочлен от трёх переменных............. 3.3. Многочлен БоттаЦУитни................. - 3.4. Инварианты Татта..................... Глава II. Топология в евклидовом пространстве......... з 4. Топология подмножеств евклидова пространства........ 4.1. Расстояние от точки до множества........... 4.2. Продолжение непрерывных отображений....... 4.3. Теоремы Лебега о покрытиях.............. 4.4. Канторово множество.................. з 5. Кривые на плоскости........................ 5.1. Теорема Жордана..................... 5.2. Теорема УитниЦГрауштейна............... - 5.3. Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба з 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера............... 6.1. Теорема Брауэра..................... 6.2. Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра.. 6.3. Лемма Шпернера..................... 6.4. Теорема Какутани..................... Глава III. Топологические пространства.............. з 7. Элементы общей топологии.................... 4 Оглавление 7.1. Хаусдорфовы пространства и компактные пространства............................. 7.2. Нормальные пространства................ 7.3. Разбиения единицы.................... 7.4. Паракомпактные пространства............. з 8. Симплициальные комплексы.................... 8.1. Евклидовы клеточные комплексы............ 8.2. Симплициальные отображения............. 8.3. Абстрактные симплициальные комплексы....... 8.4. Симплициальные аппроксимации............ 8.5. Нерв покрытия...................... 8.6. Псевдомногообразия................... 8.7. Степень отображения в евклидово пространство... 8.8. Теорема БорсукаЦУлама................. - 8.9. Следствия и обобщения теоремы БорсукаЦУлама.. - з 9. CW -комплексы........................... 9.1. Приклеивание по отображению............. 9.2. Определение CW -комплексов.............. 9.3. Топологические свойства................. 9.4. Клеточная аппроксимация................ 9.5. Геометрическая реализация CW -комплексов..... з 10. Конструкции............................. 10.1. Прямое произведение................... 10.2. Цилиндр, конус и надстройка.............. 10.3. Джойн........................... 10.4. Симметрическая степень................. Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения.

Гомотопические группы.................. з 11. Двумерные поверхности...................... 11.1. Основные определения.................. 11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему виду............................. 11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей 11.4. Риманово определение рода поверхности....... з 12. Накрытия............................... 12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей.. 12.2. Существование накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой............ 12.3. Единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой............ Оглавление 12.4. Локальные гомеоморфизмы............... з 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа...... 13.1. Род графа......................... 13.2. Раскраски карт...................... 13.3. Взрезанный квадрат графа................ з 14. Расслоения и гомотопические группы............... 14.1. Накрывающая гомотопия................ 14.2. Гомотопические группы.................. 14.3. Точная последовательность расслоения........ 14.4. Относительные гомотопические группы........ 14.5. Теорема Уайтхеда..................... Глава V. Многообразия........................ з 15. Определение и основные свойства................ 15.1. Многообразия с краем.................. 15.2. Отображения многообразий............... 15.3. Гладкие разбиения единицы............... 15.4. Теорема Сарда....................... 15.5. Важный пример: многообразия Грассмана....... з 16. Касательное пространство..................... 16.1. Дифференциал отображения............... 16.2. Векторные поля...................... 16.3. Риманова метрика..................... 16.4. Дифференциальные формы и ориентируемость.... з 17. Вложения и погружения...................... 17.1. Вложения компактных многообразий.......... 17.2. Триангуляция замкнутого многообразия........ 17.3. Погружения........................ 17.4. Вложения некомпактных многообразий........ 17.5. Невозможность некоторых вложений.......... з 18. Степень отображения........................ 18.1. Степень гладкого отображения............. 18.2. Индекс особой точки векторного поля......... 18.3. Теорема Хопфа...................... 18.4. Аппроксимации непрерывных отображений...... 18.5. Конструкция Понтрягина................. 18.6. Гомотопически эквивалентные линзовые пространства з 19. Теория Морса............................ 19.1. Функции Морса...................... 19.2. Градиентные векторные поля и приклеивание ручек. 19.3. Примеры функций Морса................ 6 Оглавление Глава VI. Фундаментальная группа................. з 20. CW -комплексы........................... 20.1. Основная теорема..................... 20.2. Некоторые примеры................... 20.3. Фундаментальная группа пространства SO(n).... з 21. Теорема ЗейфертаЦван Кампена................. - 21.1. Эквивалентные формулировки.............. 21.2. Доказательство...................... 21.3. Группа узла........................ 21.4. Рогатая сфера Александера............... з 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой. 22.1. Дополнение к набору комплексных прямых...... 22.2. Теорема ван Кампена................... 22.3. Применения теоремы ван Кампена........... Решения и указания........................... Литература................................ Предметный указатель......................... Некоторые обозначения X Y - топологическое пространство X гомеоморфно Y ;

- X Y - топологическое пространство X гомотопически эквивалент - но Y ;

f g - отображение f гомотопно отображению g;

- |A| - количество элементов множества A;

- int A - внутренность множества A;

- A - замыкание множества A;

- A - граница множества A;

- idA - тождественное отображение множества A;

- Kn - полный граф с n вершинами;

- Kn,m - см. с. 20;

- Dn - n-мерный шар;

- Sn - n-мерная сфера;

- n - n-мерный симплекс;

- In - n-мерный куб;

- P2 - проективная плоскость;

- T - двумерный тор;

- S2 # nP2 или nP2 - связная сумма n проективных плоскостей;

- 2 S2 # nT или nT - связная сумма n двумерных торов (сфера с n руч - ками);

K - бутылка Клейна;

- x - y - расстояние между точками x, y Rn;

- v - длина вектора v Rn;

- d(x, y) - расстояние между точками x, y;

- inf - точная нижняя грань;

- X Y - дизъюнктное объединение X и Y (все элементы X и Y счита - ются различными);

supp f = {x | f(x) = 0} - носитель функции f;

- X Y - джойн пространств X и Y ;

- SPn(X) - симметрическая степень пространства X;

- f : (X, Y) (X1, Y1) - отображение пар, при котором Y X отобра - жается в Y1 X1;

1 (X, x0) - фундаментальная группа пространства X с отмеченной - точкой x0 X;

8 Некоторые обозначения n (X, x0) - n-мерная гомотопическая группа пространства X с отме - ченной точкой x0 X;

deg f - степень отображения f;

- rank f(x) - ранг отображения f в точке x;

- G(n, k) - многообразие Грассмана;

- GLk (R) - группа невырожденных матриц порядка k с вещественными - координатами;

U(n) - группа унитарных матриц порядка n;

- SU(n) - группа унитарных матриц порядка n с определителем 1;

- O(n) - группа ортогональных матриц порядка n;

- SO(n) - группа ортогональных матриц порядка n с определителем 1;

- TxMn - касательное пространство в точке x Mn;

- TMn - касательное расслоение;

- k (n + k) - множество классов оснащённо кобордантных многообра - fr зий размерности k в Rn+k.

Предисловие Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются в основном методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на элементарные множества (например, симплексы) или посредством покрытий какими-либо простыми множествами, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений.

Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях мы обсуждаем оба подхода.

Исторически начало топологии связано с работами Римана; затем его исследования продолжили Бетти и Пуанкаре. При изучении многозначных аналитических функций комплексного переменного Риман понял, что эти функции следует рассматривать не на плоскости, а на тех двумерных поверхностях, на которых многозначные функции превращаются в однозначные. Двумерная поверхность возникает при этом как самостоятельный объект, определенный внутренним образом, т. е. безотносительно к её конкретному вложению в R3. При таком подходе двумерная поверхность получается в результате склейки налегающих друг на друга областей плоскости. В дальнейшем Риман ввёл понятие многомерного многообразия (Mannigfaltigkeit - в немецком языке этот термин Римана сохра - нился, а в других языках появились кальки этого термина). Многообразие размерности n получается в результате склейки налегающих друг на друга областей пространства Rn. Позднее было осознано, что если нас интересуют лишь непрерывные отображения многообразий, то для описания структуры многообразия достаточно знать лишь строение его открытых подмножеств. Это послужило одной из важнейших причин появления понятия топологического пространства как множества с выделенной системой открытых множеств, обладающих определенными свойствами.

Глава I посвящена простейшему с топологической точки зрения объекту - графам (1-мерным комплексам). Сначала обсуждаются погра - ничные с геометрией вопросы: планарность, формула Эйлера, теорема Штейница. Затем мы переходим к фундаментальной группе и накрытиям, 10 Предисловие основные свойства которых очень хорошо прослеживаются на графах.

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 49 |    Книги по разным темам