Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |   ...   | 49 |

Каждому абстрактному симплициальному комплексу K можно сопоставить топологическое пространство |K| следующим образом. Каждому симплексу vi,..., vi сопоставим топологическое пространство, явля1 k+ющееся k-мерным симплексом. В дизъюнктном объединении этих топологических пространств будем считать эквивалентными соответственные точки симплекса v1,..., vp и грани v1,..., vp симплекса v1,..., vp, vp+1,..., vq. В полученном фактормножестве |K | топология задаётся следующим образом: множество U открыто в |K | тогда и только тогда, когда пересечение U с каждым симплексом открыто в топологии симплекса.

Пусть для абстрактного симплициального комплекса K задано взаимно однозначное отображение : K0 L0, где L0 - 0-мерный остов сим - плициального комплекса L в Rn, обладающее следующим свойством: набор вершин v1,..., vk является симплексом в K тогда и только тогда, когда в L есть симплекс с вершинами (v1),..., (vk). Такое отображение можно естественным образом продолжить до гомеоморфизма |K | |L|. Этот гомеоморфизм называют реализацией симплициального комплекса K.

Т е о р е м а 8.4. Любой конечный n-мерный абстрактный симплициальный комплекс имеет реализацию в евклидовом пространстве размерности 2n + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть K - абстрактный симплициальный - комплекс с вершинами v1,..., vk. Выберем попарно различные числа t1,..., tk и рассмотрим в R2n+1 точки (vi) = (ti, ti2, ti3,..., ti2n+1), где i = 1,..., k. Каждому симплексу из K с вершинами vi,..., vi 1 m сопоставим геометрический симплекс с вершинами (vi ),..., (vi ).

1 m Нужно лишь проверить, что геометрические симплексы, не имеющие общих вершин, не пересекаются.

По условию размерности рассматриваемых геометрических симплексов не превосходят n, т. е. количества их вершин не превосходят n + 1.

Количество вершин двух таких симплексов не превосходит 2n + 2. Поэтому достаточно проверить, что если на кривой (t, t2, t3,..., t2n+1) задано не более 2n + 2 различных точек, то они являются вершинами (невырожденного) симплекса. Если задано ровно 2n + 2 точки, то объём рассматриваемого симплекса равен 2n+ 1 1........................ = 0.

(2n + 1)! 2n+ 1 2n+2... 2n+з 8. Симплициальные комплексы Набор из меньшего количества точек можно произвольным образом дополнить до набора из 2n + 2 точек.

З а м е ч а н и е. Про точки x1,..., xk в пространстве RN говорят, что они находятся в общем положении, если любые m + 1 из этих точек не лежат в одном (m - 1)-мерном аффинном подпространстве при m N.

Чтобы построить реализацию n-мерного абстрактного симплициального комплекса (с вершинами v1,..., vk) в R2n+1, достаточно указать точки x1,..., xk в R2n+1 в общем положении. Помимо той явной конструкции точек в общем положении, которая приведена в доказательстве теоремы 8.4, можно использовать, например, следующую конструкцию. Сначала возьмём две различные точки x1 и x2 в RN. Затем возьмём точку x3, не лежащую на прямой x1x2. Затем возьмём точку x4, не лежащую в плоскости x1x2x3, и т. д. Так мы построим точки x1,..., xN+1. После этого проведём гиперплоскости через все наборы N построенных точек и возьмём точку xN+2, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей. В дальнейшем снова проводим гиперплоскости через все наборы N точек и выбираем точку, не лежащую ни на одной из этих гиперплоскостей.

Симплициальный подкомплекс L K называют полным, если он обладает следующим свойством: на любой набор вершин комплекса L, на который натянут симплекс комплекса K, натянут также и симплекс комплекса L.

З а д а ч а 8.2. Докажите, что симплициальный подкомплекс L K полный тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством:

если граница симплекса комплекса K лежит в L, то и сам он лежит в L.

З а д а ч а 8.3. Пусть L K - симплициальный подкомплекс, L и - K - барицентрические подразделения L и K. Докажите, что подкомплекс - L K полный.

8.4. Симплициальные аппроксимации Симплициальные отображения устроены гораздо проще, чем непрерывные отображения. Например, для любых двух симплициальных комплексов K и L имеется лишь конечное число симплициальных отображений K L. Тем не менее, любое непрерывное отображение можно приблизить симплициальным отображением. Но при этом, возможно, от комплексов K и L придётся перейти к их подразделениям. Для гомотопической топологии наиболее важно то, что любое непрерывное отображение симплициальных комплексов гомотопно некоторому симплициальному отображению. Это утверждение существенно облегчает изучение гомотопических классов отображений, но его доказательство требует определённых усилий.

118 Глава III. Топологические пространства Пусть K и L - симплициальные комплексы, f : |K| |L| - непрерыв - - ное отображение. Для каждой точки x |K| рассмотрим точку f(x) |L|.

Точке f(x) соответствует ровно один симплекс из L, внутренней точкой которого она является. Будем говорить, что симплициальное отображение : K L является симплициальной аппроксимацией отображения f, если для всех x |K | точка (x) принадлежит симплексу, соответствующему точке f(x).

Т е о р е м а 8.5. Симплициальная аппроксимация отображения f гомотопна f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ft (x) - точка, делящая в отношении - t : (1 - t) отрезок с концами (x) и f(x). Тогда ft - гомотопия, связыва - ющая отображения f0 = и f1 = f.

Для работы с симплициальными аппроксимациями более удобно другое определение симплициальной аппроксимации, использующее понятие звезды. Пусть K - симплициальный комплекс, - симплекс из K. Звез - - дой симплекса называют объединение внутренностей всех симплексов из K, содержащих симплекс. Звездой точки x |K| называют звезду того симплекса из K, внутренней точкой которого является точка x.

Звезду симплекса обозначают st, а звезду точки x обозначают st x.

Т е о р е м а 8.6. Симплициальное отображение : K L является симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения f : |K | |L| тогда и только тогда, когда f(st v) st (v) для любой вершины v комплекса K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что - симплици - альная аппроксимация отображения f и v - вершина комплекса K. Пусть - x st v. Рассмотрим симплекс K с вершиной v, внутри которого лежит точка x, и симплекс L, внутри которого лежит точка f(x). С одной стороны, точка (x) лежит внутри симплекса (K) с вершиной (v), а с другой стороны, точка (x) принадлежит симплексу L. Поэтому L (K) (v), а значит, f(x) int L st (v).

Предположим теперь, что для любой вершины v комплекса K выполняется условие f(st v) st (v). Пусть x |K | и v0,..., vn - вершины - симплекса из K, внутри которого лежит точка x. Тогда n n n f(x) f st vi f(st vi) st (vi) = int ().

i=0 i=0 i=Поэтому () - это как раз тот симплекс, внутри которого лежит точка - f(x). Остаётся заметить, что (x) (), поскольку x.

С л е д с т в и е. Пусть : K L и : L M - симплициальные - аппроксимации непрерывных отображений f : |K||L| и g : |L||M|.

Тогда - симплициальная аппроксимация отображения gf.

- з 8. Симплициальные комплексы (n) Пусть K - конечный симплициальный комплекс, K - его n-е ба - - рицентрическое подразделение. Отметим, что при n максимальный (n) диаметр симплекса из K стремится к нулю (см. с. 93).

Т е о р е м а 8.7 (о симплициальной аппроксимации). а) Пусть K и L - симплициальные комплексы, причём комплекс K конечен, - f : |K| |L| - непрерывное отображение. Тогда для некоторого - (n) n 0 существует симплициальное отображение : K L, являющееся симплициальной аппроксимацией отображения f.

б) Если ограничение отображения f на подкомплекс K1 K симплициально, то симплициальную аппроксимацию можно выбрать так, чтобы она совпадала с f на K1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Звёзды вершин комплекса L образуют открытое покрытие топологического пространства |L|. Прообраз этого покрытия при отображении f является открытым покрытием U компактного подмножества |K| евклидова пространства. Согласно теореме Лебега об открытых покрытиях (теорема 4.6 на с. 70) существует такое число > 0, что любое подмножество B |K|, диаметр которого меньше, содержится в одном из элементов покрытия U.

(n) Выберем число n так, что диаметр любого симплекса из K меньше (n) 2. Симплициальное отображение : K L определим следующим / (n) образом. Пусть v - вершина K. Тогда диаметр множества st v мень - ше, поэтому множество f(st v) целиком принадлежит некоторому множеству вида st w, где w - вершина L. Положим (v) = w (если - в качестве w можно выбрать несколько вершин, то выбираем любую из них). Мы определили отображение 0-мерных остовов. Нужно проверить, что это отображение допустимо, т. е. если v1,..., vk - вершины - (n) некоторого симплекса из K, то (v1),..., (vk) - вершины некоторого - симплекса из L. Для этого мы воспользуется тем, что вершины v1,..., vk k образуют симплекс тогда и только тогда, когда st vi = st =.

i=k (n) Пусть v1,..., vk - вершины симплекса из K. Тогда st vi =, а зна - i=k k k чит, f(st vi) =. Но st (vi) f(st vi) =, поэтому вершины i=1 i=1 i=(v1),..., (vk) образуют в L некоторый симплекс.

(n) Теорема 8.6 показывает, что симплициальное отображение : K L является симплициальной аппроксимацией отображения f.

б) Пусть v - вершина K1. Тогда f(v) = w - вершина L. Если разби - - (n) ение K достаточно мелкое (т. е. число n достаточно велико), то для такого разбиения f(st v) st w, поэтому можно положить (v) = w.

120 Глава III. Топологические пространства С помощью теоремы о симплициальной аппроксимации можно доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а 8.8. Любое непрерывное отображение f : Sn Sm, где n < m, гомотопно постоянному отображению (т. е. отображению в одну точку).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что отображение f гомотопно отображению, которое не является сюръективным. Действительно, если (x) = 0 Sm при всех x Sn, то t(x) - (1 - t)t (x) = t(x) - (1 - t)представляет собой гомотопию, связывающую отображение и постоянное отображение Sn -0 Sm.

Сферу Sn можно представить в виде симплициального комплекса K, который является n-мерным остовом (n + 1)-мерного симплекса. Сферу Sm аналогично представим в виде симплициального комплекса L. Для непрерывного отображения f : |K| |L| существует симплициальная ап(N) проксимация : K L. Отображение не сюръективно, потому что его образ содержится в n-мерном остове комплекса L. Отображение гомотопно отображению f согласно теореме 8.5.

П р и м е р. Пусть K - триангуляция n-мерного симплекса L с вер - шинами v0, v1,..., vn. Предположим, что вершины K помечены числами 0, 1,..., n. Построим симплициальное отображение : |K | |L|, сопоставив каждой вершине a K вершину vi, где i - пометка вершины a.

- Отображение является симплициальной аппроксимацией тождественного отображения |K| |K | = |L| тогда и только тогда, когда набор пометок такой, как в условии леммы Шпернера, т. е. пометка вершины a, принадлежащей некоторой грани симплекса L, совпадает с одной из вершин этой грани.

Следующая теорема выводится из леммы Шпернера (в уточнённой форме: теорема 6.9 на с. 95), но её формулировка без использования понятия симплициального отображения выглядела бы слишком неестественно.

Т е о р е м а 8.9 (комбинаторная формула Лефшеца [85]). Пусть K - триангуляция n-мерного симплекса L, : K L - симплици - - альное отображение, i - количество i-мерных симплексов i K, - для которых i (i), с учётом знака). Тогда 0 - 1 + 2 -... + + (-1)nn = 1.

) Если симплексы i и (i) одинаково ориентированы, то берётся знак плюс, а если они ориентированы противоположно, то берётся знак минус. Отметим, что если i (i), то симплекс (i) имеет ту же размерность, что и i.

з 8. Симплициальные комплексы Рис. 44. Построение комплекса KД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v0, v1,..., vn - вершины симплек - са L, m - его центр масс, точка ai выбрана так, что m лежит на отрезке - [ai, vi] и |aim| = k|mvi|, где k > 0 - фиксированное число. Если k до - статочно велико, то симплекс L = [v0,..., vn] лежит внутри симплекса [a0,..., an].

Рассмотрим симплициальный комплекс K1, вершинами которого являются точки a0,..., an и вершины комплекса K (напомним, что K - - триангуляция L); симплексами K1 являются симплексы K и симплексы, одной из вершин которых служит ai, а остальными вершинами служат вершины симплекса из K, расположенного на грани [v0,..., v,..., vn].

i Пример построения комплекса K1 при n = 2 приведён на рис. 44. Определим симплициальное отображение : K1 L так, чтобы оно совпадало с на K K1 и переводило ai в vi. Пометим каждую вершину a комплекса K1, сопоставив ей номер i вершины vi = (a). Такой набор пометок удовлетворяет лемме Шпер нера, поэтому n = 1. Остаётся доказать, что n = 0 - 1 + 2 -... + (-1)nn. Рассмотрим сначала для наглядности слу чай n = 2 (рис. 45). Каждой вершине vi K1, помеченной числом i, соответствует симплекс [vi, aj, ak] в K1 с полным набором пометок.

Рис. 45. Ориентации симЭтот симплекс ориентирован положительно плексов (т. е. так же, как и симплекс [a0, a1, a2]). Если одномерный симплекс [x, y] в K1 с пометками p и q даёт вклад в 1, то он по условию лежит на отрезке [vp, vq]. Ребру [x, y] соответствует симплекс [x, y, ar], r = p, q, с полным набором пометок. Ориентация этого симплекса противоположна ориентации ребра [x, y] на ребре [vp, vq], потому что ориентации симплексов [a0, a1] и [v0, v1] противоположны (эти симплексы расположены на параллельных прямых, поэтому име122 Глава III. Топологические пространства ет смысл говорить о согласованности их ориентаций). Наконец, если симплекс [x, y, z] в K1 даёт вклад в 2, то он имеет полный набор пометок. При этом ориентации симплекса [x, y, z] относительно [v0, v1, v2] и относительно [a0, a1, a2] совпадают, поскольку симплексы [v0, v1, v2] и [a0, a1, a2] одинаково ориентированы.

Для произвольного n рассуждения аналогичны. Чередование знаков происходит из-за того, что симплексы [vi, vi,..., vi ] и [ai, ai,..., ai ] 0 1 k 0 1 k одинаково ориентированы при чётном k и противоположно ориентированы при нечётном k.

8.5. Нерв покрытия Произвольному семейству подмножеств U = {U} множества X можно сопоставить симплициальный комплекс N = N(U), вершины {v} которого находятся во взаимно однозначном соответствии с множествами {U}, причём набор v,..., v является симплексом тогда и только 0 k тогда, когда U... U =. Если X - топологическое пространство - 0 k и U - его покрытие (не обязательно открытое), то N называют нервом - покрытия U.

П р и м е р. Пусть K - симплициальный комплекс с вершинами {v}, - U = st v - звезда вершины v, т. е. объединение внутренностей всех - симплексов, содержащих v. Тогда нерв покрытия {U} совпадает с K.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |   ...   | 49 |    Книги по разным темам