Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Предметный указатель Равенство (5.1) принято разбивать на два Литература + + Веб - страница f() = f(t)e-it dt, f(x) = f()eix d, (5.2) - Титульный лист или, в симметричной форме, + f() = f(x)e-ix dx, (5.3) - + f(x) = f()eix d. (5.4) Страница 77 из Назад При этом функция f (в обоих вариантах) называется преобразованием Фурье функции f. Для определенности мы в дальнейшем будем пользоваться симметричной формой преобразования Фурье.
Полный экран Для получения вещественной формы интеграла Фурье заметим, что если функЗакрыть Выход ция f(x) Ч вещественная, то + + + + 1 i f(x) = d f(t) cos (x - t) dt + d f(t) sin (x - t) dt 2 - - - Ряды Фурье + + + + Интегралы Фурье 1 = d f(t) cos (x - t) dt = d f(t) cos (x - t) dt.
Предметный указатель - - 0 Литература Равенство + + Веб - страница f(x) = d f(t) cos (x - t) dt (5.5) 0 Титульный лист остается справедливым и для комплексных функций (оно верно как для вещественной, так и для мнимой части комплекснозначной функции и в силу линейности интеграла Ч для произвольной их линейной комбинации).
Если воспользоваться формулой косинуса разности, равенство (5.5) запишется в виде + + + + 1 Страница 78 из f(x) = d cos x f(t) cos t dt + d sin x f(t) sin t dt.
0 - 0 Назад Если функция f(x) Ч четная, то Полный экран + f(t) sin t dt = Закрыть (как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу) и интеграл Фурье Выход приводится к виду + + f(x) = d cos x f(t) cos t dt. (5.6) 0 Ряды Фурье Интегралы Фурье Аналогично, если f(x) Ч нечетная, то Предметный указатель + + Литература f(x) = d sin x f(t) sin t dt. (5.7) 0 Веб - страница Если функция f(x) изначально задана на полуоси [0, +), то она может быть продолжена как четная или нечетная на всю вещественную ось. Это позволяет пред- Титульный лист ставить функцию на полуоси любой из формул (5.6), (5.7).
Операторы + Fc : f(x) fc() = f(x) cos x dx, + Страница 79 из Fs : f(x) fs() = f(x) sin x dx, Назад называются, соответственно, косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Согласно формулам (5.6), (5.7), повторное применение любого из этих двух преобразований Полный экран возвращает нас к исходной функции, т.е.
2 Закрыть Fc = I, Fs = I, где I Ч тождественное преобразование.
Выход 5.2. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции Пусть функция f(x) Ч непрерывная (кусочноЦнепрерывная) и абсолютно интегрируемая на вещественной оси:
+ Ряды Фурье |f(x)| dx < +.
Интегралы Фурье - Предметный указатель Литература Тогда определено отображение + Веб - страница F : f f = F f, f(x) = f(x)e-ix dx, Титульный лист называемое преобразованием (оператором) Фурье. Оператор Фурье F является линейным (ввиду линейности интеграла):
f + g = F (f + g) = F f + F g = f + , g здесь, C Ч константы. Отметим также следующие очевидные свойства преобСтраница 80 из разования Фурье функции f.
1. f() Ч ограниченная функция, причем Назад f f 1, Полный экран где + Закрыть f = sup |f()|, f 1 = |f(x)| dx.
Выход 2. f() Ч равномерно непрерывная функция.
Действительно, + - - + - ) x( 2 2 2 e-ix - e-ix = e-ix (e-ix - e-ix ) = -2ie-ix sin, Ряды Фурье т.е.
Интегралы Фурье x( - ) |e-ix - e-ix| = 2 sin.
Предметный указатель Литература Тогда + + Веб - страница 1 2 x( - ) sin |f() - f()| = (e-ix - e-ix)f(x) dx |f(x)| dx - Титульный лист = I1 + I2, где 2 sin x( - ) I1 = |f(x)| dx |f(x)| dx |x|>N |x|>N и sin x( - ) Страница 81 из I2 = |f(x)| dx.
|x| N Назад Выберем N так, чтобы I1 <, Полный экран где Ч произвольное положительное число. После этого выберем > 0 так, чтобы Закрыть N N < и |f(x)| dx <.
2 2 2 |x| N Выход Тогда при | - | < и |x| N sin x( - ) N < 2 и как следствие Ряды Фурье I2 <.
Интегралы Фурье Тем самым Предметный указатель | - | < |f() - f()| <.
итература 3. f() 0 при.
Веб - страница Действительно, + Титульный лист f() = f(x)e-ix dx = I1 + I2, где 1 I1 = f(x)e-ix dx, |I1| |f(x)| dx, 2 |x|>N |x|>N и Страница 82 из I2 = f(x)e-ix dx.
|x| N Назад Выберем N настолько большим, чтобы Полный экран |I1| <, где Ч произвольное положительное число. После этого будем считать столь Закрыть большим, чтобы |I2| <.
Выход Последнее возможно в силу леммы РиманаЦЛебега:
I2 = f(x)e-ix dx 0.
|x| N Ряды Фурье Таким образом, при достаточно больших Интегралы Фурье Предметный указатель |f()| <.
итература 5.3. Формула обращения Веб - страница Для доказательства теоремы Фурье нам понадобится следующее свойство ядра Дирихле, которое в случае интеграла Фурье определяется равенством Титульный лист 1 sin N(x - t) DN (x - t) = .
x - t Лемма 5.1. При N > 0 и при любом x R + 1 sin N(x - t) dt = 1, (5.8) Страница 83 из x - t Назад причем интеграл сходится равномерно по N при N 1.
Доказательство. Установим сначала равномерность. Пусть T Ч достаточно больПолный экран шое положительное число, так что |x| < T. Тогда + + + Закрыть sin N(x - t) d cos N(x - t) cos N(x - T ) cos N(x - t) dt = = - - dt x - t N(x - t) N(x - T ) N(x - t)T t=T T Выход откуда + + sin N(x - t) 1 dt dt + = 0.
x - t T - x (t - x)2 T - x T + T T Ряды Фурье Аналогично оценивается интеграл Интегралы Фурье -T Предметный указатель sin N(x - t) dt.
итература x - t Веб - страница Для доказательства (5.8) достаточно установить равенство (при N > 0) + Титульный лист 1 sin Nt dt = 1.
t Отметим сначала независимость интеграла от N при положительных N, что становится очевидным при замене = Nt, d = Ndt:
+ + 1 sin Nt 1 sin Страница 84 из dt = d.
t - Назад Рассмотрим тогда интеграл + Полный экран 2 e-xt sin t (x) = dt, x 0.
t Закрыть Заметим, прежде всего, что он сходится равномерно по x 0. Действительно, Выход при T > + + + e-xt sin t e(-x+i)t e(-x-i)t 2i dt = dt - dt t t t T T T Ряды Фурье + + Интегралы Фурье 1 e(-x+i)t 1 e(-x-i)t = d - d Предметный указатель t -x + i t -x - i Литература t=T t=T + + e(-x+i)t e(-x-i)t dt 1 e(-x+i)t 1 e(-x-i)t = - + Веб - страница t -x + i t -x - i -x + i -x - i tt=T T + Титульный лист 1 e(-x+i)T e(-x-i)T e(-x+i)t e(-x-i)t dt = - - + -, T -x + i -x - i -x + i -x - i tT откуда + + e-xt sin t 1 dt dt + = 0.
t T t2 T T + T T Страница 85 из Вычислим производную от (x) (при x > 0 можно воспользоваться теоремой о дифференцировании интеграла по параметру):
Назад + + 2 (x) = - e-xt sin t dt = - [e(-x+i)t - e(-x-i)t] dt Полный экран i 0 + 1 e(-x+i)t e(-x-i)t 1 1 1 2 Закрыть = - - = - = - .
i -x + i -x - i i -x + i -x - i x2 + t=Выход Заметим, далее, что + + 2 2 e-xt |(x)| e-xt dt = - = = 0.
x+ x x t=Ряды Фурье Тогда согласно формуле НьютонаЦЛейбница для несобственного интеграла Интегралы Фурье + Предметный указатель + Литература -(0+) = lim (x) - (0+) = (x) dx = - arctg x 0 = -1.
x+ Веб - страница Но ввиду равномерной по x сходимости интеграла (x) + + Титульный лист 2 sin t 1 sin t (0+) = dt = dt, t t 0 т.е.
+ 1 sin t dt = 1.
t Страница 86 из Теорема 5.2 (Фурье). Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируема Назад на вещественной оси и пусть она дифференцируема в точке x. Тогда + N Полный экран 1 f(x) = v.p. f()eix d lim f()eix d.
N+ 2 - -N Закрыть Замечание 5.3. Сокращение v.p. перед знаком интеграла читается как главное значение интеграла.
Выход Доказательство. Положим +N + N Опр. 1 fN (x) = f()eix d = d f(t)ei(x-t) dt. (5.9) -N -N Ряды Фурье Интегралы Фурье Используя теорему об интегрировании несобственного интеграла по параметру и Предметный указатель свойства четности, найдем Литература + + N N 1 i fN (x) = d f(t) cos (x - t) dt + d f(t) sin (x - t) dt Веб - страница 2 -N - -N + + N 1 1 sin N(x - t) Титульный лист = dt f(t) cos (x - t) d = f(t) dt.
x - t - 0 Тогда + + 1 sin N(x - t) 1 sin N(x - t) f(x) - fN (x) = f(x) dt - f(t) dt x - t x - t Страница 87 из - + 1 f(x) - f(t) = sin N(x - t) dt.
Назад x - t Полный экран Последний интеграл разобьем на три части:
+ -T + T Закрыть = + +, (5.10) - - -T T Выход считая, что T достаточно велико, так что |x| < T. Величину T можно выбрать столь большой, что первый и последний интегралы в правой части будут сколь угодно малы независимо от величины N при N 1. Действительно, например, + f(x) - f(t) Ряды Фурье sin N(x - t) dt = I1 + I2, x - t Интегралы Фурье T Предметный указатель где Литература + sin N(x - t) I1 = f(x) dt x - t Веб - страница T и + Титульный лист f(t) sin N(x - t) I2 = - dt, x - t T откуда (как было установлено при доказательстве предыдущей леммы) 2|f(x)| |I1| T - x T + Страница 88 из и (в силу абсолютной интегрируемости функции f) + Назад |I2| |f(t)| dt 0.
T - x T + T Полный экран Если T уже выбрано так, что -T + Закрыть + <, - T Выход где Ч произвольное наперед заданное положительное число, оставшийся средний интеграл в правой части равенства (5.10) может быть сделан сколь угодно малым при N + в силу леммы РиманаЦЛебега:
T f(x) - f(t) Ряды Фурье sin N(x - t) dt 0.
x - t N+ Интегралы Фурье -T Предметный указатель Использование леммы РиманаЦЛебега оправдано ввиду того, что функцию переменЛитература ной t f(x) - f(t) t Веб - страница x - t можно доопределить как непрерывную всюду на интервале [-T, T ], поскольку в точке t = x она имеет устранимый разрыв: Титульный лист f(x) - f(t) lim = f (x).
tx - t x Выберем N столь большим, чтобы T <, Страница 89 из -T тогда Назад |f(x) - fN (x)| <.
Полный экран 5.4. Обратное преобразование Фурье Закрыть Как следует из доказанной выше теоремы Фурье, если функция f(x) Ч является дифференцируемой и абсолютно интегрируемой на вещественной оси, то преобразоВыход вание Фурье + F : f f = F f, f() = f(x)e-ix dx, Ряды Фурье имеет обратное преобразование Интегралы Фурье + Предметный указатель -1 - Литература F : f f = F f, f(x) = v.p. f()eix d.
Веб - страница Заметим, что если функция f является абсолютно интегрируемой, то обратное пре-образование Фурье F можно описать равенством Титульный лист -F = P F, где оператор P является оператором лотражения P : f(x) f(-x).
Отметим также коммутационное соотношение Страница 90 из F P = P F, которое легко оправдывается заменой переменной в интеграле:
Назад + 1 F P f () = f(-x)e-ix dx = - f(t)eit dt Полный экран 2 - + + Закрыть = f(t)eit dt = P F f ().
Выход 5.5. Гладкость преобразований Фурье быстро убывающих функций и скорость убывания преобразований Фурье гладких функций Если функция f(x) непрерывна и сходится интеграл Ряды Фурье + Интегралы Фурье Предметный указатель |xf(x)| dx, Литература то преобразование Фурье f() является непрерывно дифференцируемой функцией, Веб - страница d причем производная f() является преобразованием Фурье функции -ixf(x):
d Титульный лист + df() = (-ix)f(x)e-ix dx.
d Это сразу вытекает из теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру, поскольку здесь интеграл справа, полученный формальным дифференцированием преобразования Фурье функции f под знаком интеграла, сходится Страница 91 из равномерно по.
Как следствие получаем, если функция f(x) непрерывна и абсолютно интегри руема со степенью |x|n, ее образ Фурье f() является n раз непрерывно дифференНазад цируемой функцией, причем dn Полный экран F (-ix)nf(x) - f().
dn Закрыть Рассмотрим теперь вопрос о скорости убывания преобразования Фурье гладкой функции.
Выход Теорема 5.4. Пусть теперь функция f Ч непрерывно дифференцируема, причем f и f Ч абсолютно интегрируемы:
+ + |f(x)| dx < +, |f (x)| dx < +.
Ряды Фурье - Интегралы Фурье Предметный указатель Тогда имеет место соотношение Литература f () = if(), Веб - страница в частности f() = o.
|| Титульный лист Доказательство. Согласно формуле НьютонаЦЛейбница b f(b) - f(a) = f (x) dx a и абсолютной интегрируемости функции f, существуют пределы Страница 92 из lim f(a), lim f(b).
a- b+ Назад Если любой из этих пределов не равен нулю, функция f не может быть абсолютно интегрируемой на R, таким образом Полный экран lim f(a) = 0, lim f(b) = 0.
ab+ Закрыть Выход Тогда, интегрируя по частям, находим + + 1 f(x)e-ix + f () = f (x)e-ix dx = f(x)(-i)e-ix dx - 2 2 - Ряды Фурье + Интегралы Фурье (i) = f(x)e-ix dx = (i)f().
Предметный указатель Литература Веб - страница Как следствие, если функция f непрерывно дифференцируема n раз и абсолютно интегрируема на R вместе со своими производными, то ее образ убывает на бескоТитульный лист нечности быстрее чем ||-n:
f() = o, ||n причем dn F f(x) - (i)nf().
dxn Таким образом, при преобразовании Фурье операция умножения на независимую Страница 93 из переменную x переходит в операцию дифференцирования (по ) с точностью до множителя i, а операция дифференцирования по x переходит в операцию умножения Назад на независимую переменную с точность до того же множителя i:
F d x i Полный экран d d F i.
Закрыть dx Выход 5.6. Пространство Шварца В теории интеграла Фурье важную роль играет пространство Шварца S(R) гладких быстро убывающих функций. Это пространство функций состоит из бесконечно дифференцируемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают Ряды Фурье на бесконечности быстрее любой степени |x|:
Интегралы Фурье Ck dnf(x) Cn,k Предметный указатель |f(x)|, n, k N.
1 + |x|k dxn 1 + |x|k Литература Согласно предыдущему пункту оператор Фурье F функцию класса Шварца переВеб - страница водит снова в функцию класса Шварца. Поскольку обратный оператор Фурье с точностью до отражения P совпадает с преобразованием Фурье, то заключаем, что оператор Фурье отображает пространство Шварца на все пространство Шварца взаТитульный лист имно однозначно:
F : S(R) S(R), -F : S(R) S(R).
Превратим пространство Шварца в унитарное пространство, задавая в нем скалярное произведение равенством Страница 94 из + f|g = f(x)g(x) dx.
Назад Полный экран При этом + f 2 = |f(x)|2 dx.
Закрыть Выход Напомним, что в абстрактном унитарном пространстве V оператор A называется сопряженным к оператору A, если a, b V : Aa|b = a|Ab.
Оператор A называется при этом унитарным, если Ряды Фурье Интегралы Фурье AA = AA = I, т.е. A = A-1.
Предметный указатель Унитарное преобразование сохраняет скалярное произведение и, в частности, норму Литература вектора:
Aa|Ab = a|AAb = a|b, Aa = a.
Веб - страница Теорема 5.5. Оператор Фурье унитарен на пространстве Шварца:
-F = F.
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Книги по разным темам