Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 5 | 6 | 7 | 8 | Титульный лист Доказательство. Пусть f, g S(R). Тогда + + + + 1 F f|g = d dx f(x)e-ixg() = dx d f(x)eixg() 2 - - - + + -1 Страница 95 из = dx f(x) eixg() d = f|F g.
- Назад Перестановка порядков интегрирования возможна ввиду равномерной сходимости интегралов.
Полный экран Следствие 5.6 (Равенство Парсеваля).
+ + Закрыть |f()|2 d = |f(x)|2 dx.
- Выход В дальнейшем вообще через F будет обозначаться оператор + F = P F, F : f f, f() = f(x)eix dx, Ряды Фурье Интегралы Фурье и называться сопряженным преобразованием Фурье.
Предметный указатель Замечание 5.7. Как легко видеть, формула Литература F f|g = f|F g Веб - страница будет верна для значительно более широкого класса функций, нежели класс Шварца. Достаточно, чтобы f и g были непрерывными (кусочно непрерывными), абсоТитульный лист лютно интегрируемыми функциями. Как следствие, будем иметь равенство f| = f|g, g если f Ч непрерывная, абсолютно интегрируемая функция, а g Ч абсолютно инте грируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции g.
-Действительно, в этом случае, в силу формулы обращения, g = F g и тогда -1 Страница 96 из f| = F f| = f|F g = f|g.
g g В частности, равенство Парсеваля Назад f = f Полный экран сохраняет силу, когда f Ч абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции f. В действительности, методами функциЗакрыть онального анализа можно показать, что для равенства Парсеваля достаточно лишь одной квадратичной интегрируемости функций! Выход 6. Свертка функций Сверткой функций f и g на вещественной оси называется интеграл + Ряды Фурье f g(x) = f(t)g(x - t) dt. (6.1) Интегралы Фурье Предметный указатель В отличие от периодического случая мы должны позаботиться о сходимости интеЛитература грала (6.1). Например, достаточно потребовать непрерывности и абсолютной интегрируемости функции f и непрерывности и ограниченности функции g или наоборот, Веб - страница непрерывности и абсолютной интегрируемости функции g и непрерывности и ограниченности функции f. Как и в периодическом случае, легко показать, что свертка Титульный лист коммутативна:
f g = g f.
Свертка на бесконечном интервале, как и свертка периодическая, часто используется для сглаживания функции. Пусть f Ч равномерно непрерывная функция на вещественной оси. Пусть > 0 фиксировано и таково, что |x - y| < |f(x) - f(y)| <.
Страница 97 из Возьмем произвольно гладкую (непрерывно дифференцируемую или даже бесконечно дифференцируемую) функцию, удовлетворяющую условиям:
Назад 1. (x) 0, Полный экран 2. Ч четная функция, 3. (x) = 0 при |x|, Закрыть + 4. (x) dx = 1.
Выход Напомним, что в силу этих свойств + (x - t) dt = 1.
Ряды Фурье Интегралы Фурье Рассмотрим свертку g = f :
Предметный указатель + Литература g(x) = f(t)(x - t) dt.
Веб - страница Здесь интеграл практически не является несобственным Ч интегрирование реально ведется по интервалу |x - t|. Функция g является, очевидно, гладкой, причем Титульный лист + g (x) = f(t) (x - t) dt.
Вместе с тем функция g является равномерной аппроксимацией функции f:
Страница 98 из + |f(x) - g(x)| = [f(x) - f(t)](x - t) dt Назад |f(x) - f(t)|(x - t) dt (x - t) dt =.
Полный экран 2 |x-t| |x-t| Однако свертка функций не улучшает, вообще говоря, их убывания. Нас свертка Закрыть будет интересовать с точки зрения преобразования Фурье.
Выход Теорема 6.1. Пусть функции f и g Ч непрерывны и абсолютно интегрируемы на вещественной оси:
+ + |f(x)| dx < +, |g(x)| dx < +.
Ряды Фурье - Интегралы Фурье Тогда Предметный указатель (F f) g = F (f F g), Литература или что то же f g = f g, g = F g.
Веб - страница Доказательство. Существование свертки очевидно ввиду ограниченности функции f. Формула вытекает из преобразований Титульный лист + + + 1 1 f( - )g() d = d g() f(x)e-ix(-) dx 2 2 - - + + + 1 1 = dx f(x)e-ix g()eix d = f(x) g(x)e-ix dx 2 2 - - Страница 99 из Назад Следствие 6.2. В предположениях предыдущей теоремы верна также формула (F f) g = F (f F g) Полный экран Доказательство. Заметим, что + + Закрыть f(t)g(-x - t) dt = f(-u)g(-x + u) du, - Выход откуда P (f g) = (P f) (P g).
Тогда P (F f g) = F f P g и P F (f F g) = F (f F P g).
Ряды Фурье Отсюда в силу теоремы Интегралы Фурье F f P g = F (f F P g).
Предметный указатель Остается заменить P g на g.
итература Теорема 6.3. Если функции f и g Ч непрерывны, абсолютно и квадратично Веб - страница интегрируемы:
+ + Титульный лист |f(x)| dx < +, |g(x)| dx < +, - + + |f(x)|2 dx < +, |g(x)|2 dx < +, - то свертка f g является абсолютно интегрируемой функцией и Страница 100 из f g = f g.
Назад Доказательство. Заметим, что в силу неравенства Шварца свертка fg существует, причем интеграл сходится равномерно по x:
Полный экран + f(t)g(x - t) dt |f(t)|2 dt |g(x - t)|2 dt = |f(t)|2 dt |g(s)|2 ds.
Закрыть |t|>T |t|>T |t|>T |t|>T Выход Отсюда, согласно теореме об интегрировании несобственного интеграла по параметру, свертка также является абсолютно интегрируемой функцией:
+ + + + dx f(t)g(x - t) dt dx |f(t)g(x - t)| dt Ряды Фурье - - - Интегралы Фурье + + + + Предметный указатель = dt |f(t)| |g(x - t)| dx = |f(t)| dt |g(s)| ds.
итература - - - Тогда опять с использованием теоремы об интегрировании несобственного интеграла Веб - страница по параметру находим + + Титульный лист 1 dx e-ix f(t)g(x - t) dt 2 - - + + 1 = dt e-itf(t) e-i(x-t)g(x - t) dx 2 - + + Страница 101 из 1 = dt e-itf(t) e-iug(u) du.
2 - Назад Полный экран Замечание 6.4. В действительности, в условиях последней теоремы можно показать, что f g = F (f g), Закрыть причем произведение f g является абсолютно интегрируемой функцией, откуда, в частности, вытекает непрерывность и убывание на бесконечности свертки f g Выход (ввиду соответствующих свойств преобразований Фурье абсолютно интегрируемых функций).
Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература Веб - страница Титульный лист Страница 102 из Назад Полный экран Закрыть Выход 7. Примеры и приложения 7.1. Сводка формул Вычислим образы Фурье для некоторых функций.
Ряды Фурье 1.
Интегралы Фурье e-x, x 0, Предметный указатель f1(x) = 0, x < 0.
итература Тогда Веб - страница + + 1 1 ex(-1-i) 1 1 1 1 - i f1() = ex(-1-i) dx = = = .
2 2 -1 - i 1 + i 1 + 2 Титульный лист 2.
0, x > 0, f2(x) = ex, x 0.
Тогда f2 = P f1, откуда f2 = P f1, т.е.
Страница 103 из 1 1 + i f2() = .
1 + Назад 3.
f3(x) = e-|x|.
Полный экран В силу f3 = f1 + f2 находим Закрыть 2 f3() = .
1 + Выход 4.
f4(x) = sgnx e-|x|.
В силу f4 = f1 - f2 находим Ряды Фурье f4() = -i .
1 + 2 Интегралы Фурье Предметный указатель 5.
итература f5(x) =.
1 + xВеб - страница Заметим, что F f5() = e-||. Тогда в силу F = P F Титульный лист f5() = e-||.
6.
x f6(x) =.
1 + x Страница 104 из Заметим, что F f6() = i sgn e-||. Тогда, аналогично с предыдущим, Назад f6() = -i sgn e-||.
Полный экран 7.
1, x [-1, 1], Закрыть f7(x) = 0 x [-1, 1].
/ Выход Тогда 1 1 e-i - ei 2 sin f7() = e-ix dx = = .
2 2 -i -Ряды Фурье 8.
sin x Интегралы Фурье f8(x) =.
x Предметный указатель Литература Заметим, что F f8() = f7(). Тогда (в силу четности) Веб - страница f8() = f7().
Титульный лист Выпишем для этого случая равенство Парсеваля:
+ sin x dx = dx =.
x - -9. Страница 105 из f9(x) = e-x.
Заметим, что Назад + + 1 2 1 Полный экран f9() = e-x e-ix dx = e-x cos(x) dx.
2 - Закрыть Выход При этом + + d 1 2 1 de-x f9() = - xe-x sin(x) dx = sin(x) d 2 - Ряды Фурье + Интегралы Фурье = - e-x cos(x) dx = - f9().
Предметный указатель 2 Литература Решая полученное дифференциальное уравнение, находим Веб - страница f9() = Ce-, Титульный лист константа определяется из начального условия + 1 2 f9(0) = e-x dx =.
2 Окончательно, 2 Страница 106 из e- f9() =.
Назад Отметим, что в примерах 6 и 8 функции f6 и f8 не являются абсолютно интегрируемыми.
Полный экран На практике часто бывают полезны следующие простые свойства преобразования Фурье. Пусть F Закрыть f(x) f().
Тогда Выход F 1. f(ax) f, Ч так называемая терема подобия, a a F 2. f(x)eix f( - ), Ч так называемая теорема смещения, F Ряды Фурье 3. f(x - b) f()e-ib, Ч так называемая теорема запаздывания.
Интегралы Фурье Доказательство этих свойств элементарно:
Предметный указатель Литература + + du a f(ax)e-ix dx = f(u)e-i u, a Веб - страница - + + Титульный лист f(x)eixe-ix dx = f(x)e-i(-)x dx, - + + f(x - b)e-ix dx = f(u)e-i(u+b) du.
- - Дополним эту сводку формул доказанными ранее теоремами о дифференцировании Страница 107 из лоригинала, о дифференцировании лизображения, о свертке и таблицей примеров:
Назад Полный экран Закрыть Выход Таблица 1: Таблица преобразований Фурье f(x) f() Ряды Фурье Интегралы Фурье f(ax) f Предметный указатель a a Литература Веб - страница f(x)eix f( - ) Титульный лист f(x - b) f()e-ib dnf(x) (i)nf() dxn Страница 108 из dnf() xnf(x) in dn Назад + Полный экран f() g() f(t)g(x - t) dt Закрыть Выход 1 1 - i e-xH(x) 1 + 2 Ряды Фурье e-|x| 1 + Интегралы Фурье Предметный указатель Литература e-|x|sgnx -i 1 + Веб - страница Титульный лист e-|| 1 + x x -i e-||sgn 1 + x 2 sin Страница 109 из H(x + 1) - H(x - 1) Назад sin x [H( + 1) - H( - 1)] x 2 Полный экран Закрыть Выход e- e-x Ряды Фурье Здесь H(x):
Интегралы Фурье 1, x 0, H(x) = Предметный указатель 0, x < 0.
итература Ч так называемая функция Хевисайда.
В качестве иллюстрации вычислим преобразование Фурье функции fN, введенВеб - страница ной при доказательстве теоремы Фурье. Напомним, что ядро Дирихле было определено равенством Титульный лист sin Nx N sin(Nx) DN (x) = = .
x Nx Его Фурье-образ, согласно теореме подобия, равен 1 DN () = H + 1 - H - 1 = H( + N) - H( - N).
2 N N Функция fN совпадает со сверткой, см. стр. 87:
Страница 110 из fN = 2f DN.
Назад Тогда f(), [-N, N], Полный экран fN () = f() H( + N) - H( - N) = 0, [-N, N].
/ Закрыть Выход 7.2. Распространение тепла в бесконечном стержне Рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном стержне, если задана начальная температура u(x, 0) = (x). Эту задачу принято называть задачей Коши для уравнения теплопроводности Ряды Фурье u 2u Интегралы Фурье = a2, x R, t [0, +), t Предметный указатель u(x, 0) =x(x), x R.
итература Фиксируя t, подвергнем функцию u(x, t) преобразованию Фурье:
Веб - страница U(, t) = (F u)(, t).
Титульный лист Тогда рассматриваемая задача Коши будет иметь следующий образ Фурье:
U = -a22U, R, t [0, +), t U(, 0) = (), R.
Здесь = F. Фиксируя, решим полученное дифференциальное уравнение:
Страница 111 из U(, t) = ()e-a 2t.
Назад Решение исходной задачи находится по формуле -u(x, t) = (F U)(x, t).
Полный экран Здесь полезно воспользоваться теоремой о свертке в форме 6.2:
Закрыть 2 F [e-a 2t] = F (e-a 2t F ).
Выход Заметим, что в силу четности (по ) и теоремы подобия (роль множителя играет a t) 2 2 1 x.
F [e-a 2t] = F [e-a 2t] = e- 4a2t a 2t (Здесь также поменялись ролями переменные x и ). Тогда Ряды Фурье + Интегралы Фурье (x-y)u(x, t) = (y)e- 4a2t Предметный указатель dy.
2a t Литература Отметим, что в отличие от волнового уравнения, параметр a не играет роль Веб - страница скорости распространения тепла. Как видно из полученного решения, скорость распространения тепла бесконечна (с точки зрения данной модели): в любой сколь угодно малый момент времени t > 0 изменение температуры u(x, t) происходит на Титульный лист всем протяжении бесконечного стержня (для всех x)! 7.3. Частотный спектр В связи с предельным переходом, описанным в параграфе 5.1, полезно познакомиться с понятием частотного спектра.
Пусть f Ч вещественная периодическая функция с периодом 2l. Ее разложение Страница 112 из в ряд Фурье имеет вид aНазад f(x) = + (an cos nx + bn sin nx), n=где Полный экран n n =.
l Закрыть Величины n имеют смысл частот колебаний и называются гармониками, причем гармоника 1 называется основной частотой, остальные гармоники n = n1, кратные основной, называются обертонами.
Выход Введем величины aA0 =, An = a2 + b2, n 1.
n n Разложение в ряд Фурье может быть переписано в виде Ряды Фурье Интегралы Фурье f(x) A0 + An sin(nx + n), Предметный указатель n=Литература где фазы колебаний n определяются равенствами an bn Веб - страница sin n =, cos n =.
An An Титульный лист Последовательность амплитуд колебаний An, отнесенных к соответствующим гармоникам, и носит название дискретного частотного спектра.
Найдем, например, частотный спектр пилообразной 2l-периодической функции, заданной на периоде равенством f(x) = x, x [-l, l].
Ее разложение в ряд Фурье имеет вид Страница 113 из + (-1)n+12l f(x) = sin nx, Назад n n=откуда Полный экран 2l An =, n Закрыть см. рис. 5.
Следует подчеркнуть, что частотный спектр не определяет функцию f(x) однозначно.
Выход An f(x) Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель 0 l x n Литература 1 2 3 Веб - страница Рис. 5: Дискретный частотный спектр Титульный лист Совершая предельный переход l, мы получаем интеграл Фурье функции f(x):
f(x) = [a() cos x + b() sin x] d, где Страница 114 из + + 1 a() = f(x) cos x dx, b() = f(x) sin x dx.
Назад - По аналогии с дискретным случаем, вводится непрерывный частотный спектр Полный экран A() = a2() + b2().
Закрыть Заметим, что f() = [a() - ib()], Выход откуда A() = |f()|.
Величина A() служит мерой вклада частоты в функцию f(x).
Ряды Фурье На рисунке 6 можно видеть примеры непрерывных частотных спектров.
Интегралы Фурье f(x) Предметный указатель 2 sin Литература A() = Веб - страница 0 x Титульный лист 1 A() = f(x) = e-xH(x) 1 + 0 Страница 115 из x Назад Полный экран Рис. 6: Примеры непрерывных частотных спектров Закрыть Выход A. Дополнение. Сходимость в среднеквадратичном Мы докажем в этом параграфе, что для произвольной кусочно непрерывной и квадратично интегрируемой функции f интеграл + + Ряды Фурье 1 sin N(x - t) fN (x) = f(t)DN (x - t) dt = f(t) dt, Интегралы Фурье x - t Предметный указатель - Литература называемый простым интегралом Фурье функции f, в среднеквадратичном сходится к функции f, т.е.
Pages: | 1 | ... | 5 | 6 | 7 | 8 | Книги по разным темам