Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 8 |

lx lx f(x) = f, g(x) = g.

Ряды Фурье Тогда Интегралы Фурье 2 2l Предметный указатель 1 1 lx lx Литература f| = f(x) dx = f g dx = f(t)g(t) dt.

g g(x) 2 2 2l 0 0 Веб - страница Последний интеграл и будет принят за скалярное произведение функций f и g периодических с периодом 2l:

Титульный лист 2l f|g = f(t)g(t) dt 2l (функции считаются непрерывными, для определенности). Ортонормированная си стема функций en примет вид l en(x) = ei nx. (2.15) Страница 48 из Возьмем непрерывную периодическую с периодом 2l функцию f. Перейдем к функНазад ции f (непрерывной и периодической с периодом 2) и построим для нее ряд Фурье относительно ортонормированной системы einx на интервале [0, 2]. Этот ряд будет рядом Фурье для функции f относительно ортонормированной системы (2.15) на Полный экран интервале [0, 2l] :

Закрыть 2l + l l f(x) cnei nx, x R, cn = f(x)e-i nx dx.

2l n=0 Выход Вещественная форма ряда Фурье имеет вид a0 nx nx f(x) + (an cos + bn sin ), x R, 2 l l n=где Ряды Фурье Интегралы Фурье 2l Предметный указатель a0 = f(x) dx, l Литература 2l 1 nx Веб - страница an = f(x) cos dx, n N, l l Титульный лист 2l 1 nx bn = f(x) sin dx, n N.

l l Равенство Парсеваля не изменит своего вида, если учесть, что теперь 2l f 2 = |f(x)|2 dx.

2l Страница 49 из Формулы перехода от комплексной к вещественной форме и обратно изменению не Назад подвергаются.

Полный экран 2.10. Разложение четных и нечетных функций В этом вопросе удобно использовать вещественную форму ряда Фурье:

Закрыть a0 nx nx f(x) + (an cos + bn sin ), x R, 2 l l n=1 Выход записав соотношения для коэффициентов Фурье в симметричной форме:

l a0 = f(x) dx, (2.16) l -l Ряды Фурье l Интегралы Фурье 1 nx an = f(x) cos dx, n N, (2.17) Предметный указатель l l -l Литература l 1 nx bn = f(x) sin dx, n N. (2.18) Веб - страница l l -l Титульный лист Напомним, что если функция f Ч нечетная (и интегрируемая), то a f(x) dx = 0 (a > 0).

-a Если функция f Ч четная (и интегрируемая), то Страница 50 из a a f(x) dx = 2 f(x) dx (a > 0).

Назад -a Пусть функция f Ч непрерывная, периодическая с периодом 2l и четная. Тогда Полный экран bn = 0 при всех натуральных n и ряд Фурье такой функции будет содержать только косинусы:

Закрыть a0 nx f(x) + an cos, x R.

2 l n=Выход Пусть функция f Ч непрерывная, периодическая с периодом 2l и нечетная. Тогда an = 0 при всех натуральных n и при n = 0 и ряд Фурье такой функции будет содержать только синусы:

nx f(x) bn sin, x R.

Ряды Фурье l n=Интегралы Фурье Предметный указатель Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть на интервале [0, l] задана непрерывЛитература ная функция f. Как можно разложить ее в ряд Фурье на этом интервале Возможны разные приемы. Можно, например, продолжить ее периодически на всю ось с периодом T = l и воспользоваться общей теорией. Однако, можно предварительно Веб - страница продолжить ее как четную или нечетную на интервал [-l, l] и затем уже продолжать периодически на всю ось с периодом T = 2l. В этом случае в зависимости Титульный лист от способа предварительного продолжения мы получим разложение в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам. Следует заметить, что для вычисления коэффициентов Фурье нет необходимости явно строить описанные продолжения.

Действительно, в случае четного продолжения мы можем найти коэффициенты an по формулам l a0 = f(x) dx, Страница 51 из l l Назад 2 nx an = f(x) cos dx, n N, l l Полный экран а в случае нечетного продолжения мы можем найти коэффициенты bn по формулам Закрыть l 2 nx bn = f(x) sin dx, n N.

l l 0 Выход Следует заметить, что скорости сходимости этих рядов будут в общем случае различны. При четном продолжении функция останется непрерывной. При нечетном она (в общем случае) получит точки разрыва (1 рода) в нуле и при x = l (и далее периодически с периодом 2l). В последнем случае ряд будет сходиться заведомо медленно.

Ряды Фурье Интегралы Фурье 2.11. Вещественная форма тригонометрического ряда Фурье Предметный указатель Литература До сих пор мы получали сведения о вещественной форме тригонометрического ряда Фурье благодаря формулам перехода (2.7). Следует, однако, заметить, что функции Веб - страница, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...

Титульный лист образуют ортонормированную систему относительно скалярного произведения f|g = f(x)g(x) dx в пространстве непрерывных периодических с периодом 2 функций и коэффициенты an и bn являются коэффициентами Фурье относительно этой ортонормированной Страница 52 из системы (кроме a0, который становится коэффициентом Фурье в этом смысле после деления на 2). Равенство Парсеваля может быть переписано в виде Назад |a0|2 + (|an|2 + |bn|2) = |f(x)|2 dx.

Полный экран n=В случае периодических функций с периодом 2l полной ортонормированной сиЗакрыть стемой будет 1 x x 2x 2x, cos, sin, cos, sin,...

l l l l 2 Выход относительно скалярного произведения l f|g = f(x)g(x) dx.

l -l Ряды Фурье Интегралы Фурье 2.12. Понятие об улучшении скорости сходимости ряда Фурье Предметный указатель Тригонометрические ряды Фурье, возникающие в результате решения конкретных Литература прикладных задач, могут оказаться медленно сходящимися, что часто препятствует их использованию (если сумма ряда не находится в замкнутом виде). Если окаВеб - страница зывается возможным из данного медленно сходящегося ряда выделить медленно сходящуюся часть с известной суммой так, что оставшаяся часть ряда сходится уже Титульный лист быстро, то такое выделение и называется улучшением сходимости ряда Фурье.

Если особенности (разрывы) функции f, улучшением сходимости ряда Фурье которой мы интересуемся, известны, то функцию f можно легко представить как сумму достаточно простой (например, кусочно линейной) функции с точно такими же особенностями, что и f и функции, которая уже особенностей не имеет (но может иметь особенности производной).

Если особенности функции f не известны, для улучшения сходимости ряда Фурье можно воспользоваться методом А.Н.Крылова. Идея метода состоит в том, чтобы Страница 53 из выделить из коэффициентов Фурье младшие степени величины и попытаться отn суммировать полученные ряды при помощи таблиц известных разложений.

Назад Например, пусть требуется улучшить сходимость ряда + nПолный экран f(x) = (-1)n sin nx, x (-, ).

n4 - n=Закрыть Заметим, что n3 1 = +.

n4 - 1 n n5 - n Выход Но известно, что при x (-, ) + x (-1)n+= sin nx, 2 n n=Ряды Фурье откуда Интегралы Фурье + x (-1)n Предметный указатель f(x) = - + sin x + sin nx, x (-, ).

2 n5 - n n=2 Литература Веб - страница Титульный лист Страница 54 из Назад Полный экран Закрыть Выход 3. Примеры и приложения 3.1. Периодические решения Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение Ряды Фурье p0y(n)(x) + p1y(n-1)(x) + + pny(x) = q(x) (3.1) Интегралы Фурье Предметный указатель с постоянными коэффициентами и периодической правой частью q(x) периода 2.

итература Существует ли периодическое решение с периодом 2 Будем искать решение в форме ряда Фурье Веб - страница + y(x) = ykeikx.

Титульный лист k=Разложим правую часть уравнения в ряд Фурье + q(x) = qkeikx, k=тогда при всех k Z Страница 55 из p0 (ik)nyk + p1 (ik)n-1yk + + pn yk = qk Назад (равенство коэффициентов Фурье левой и правой частей уравнения). Полагая Полный экран P (z) = p0zn + p1zn-1 + + pn, получаем соотношение (Фурье-образ уравнения (3.1)) Закрыть P (ik) yk = qk (k Z). (3.2) Выход Если P (ik) = 0 (k Z), (3.3) то qk yk =, P (ik) Ряды Фурье т.е. мы нашли коэффициенты Фурье функции y(x) а, следовательно, и саму эту Интегралы Фурье функцию. Однако, чтобы найденная функция действительно была решением, необПредметный указатель ходимо оправдать возможность n-кратного дифференцирования суммы ряда Фурье Литература y(x) почленно. В этих целях потребуем непрерывной дифференцируемости правой части q(x). Тогда в силу неравенства (вытекающем из асимптотики P (ik) p0 (ik)n Веб - страница при k ) |P (ik)| c|k|m Титульный лист с некоторым c > 0, заключаем, что |k| |yk|, c|k|n+ где k Ч коэффициенты Фурье производной q (x). Последняя оценка позволяет нам сослаться на теорему 2.25 о дифференцируемости ряда Фурье, из которой и вытекает n-кратная непрерывная дифференцируемость функции y(x).

Страница 56 из Заметим теперь, что построенное решение будет единственным. Действительно, иначе существовало бы нетривиальное 2-периодическое решение однородного Назад уравнения p0y(n)(x) + p1y(n-1)(x) + + pny(x) = 0, Полный экран но, как известно, общее решение последнего уравнения выражается через экспоненты ex, где Ч корни характеристического уравнения Закрыть P (z) = 0, Выход и эти экспоненты могут привести к 2Цпериодическому решению только при = ik (k Z) в противоречии с условием (3.3).

Итак, при непрерывно дифференцируемой правой части условие (3.3) является условием существования и единственности 2-периодического решения рассматриваемого дифференциального уравнения (3.1).

Ряды Фурье Если при некотором целом m Интегралы Фурье Предметный указатель P (im) = 0, Литература уравнение (3.1) будет иметь 2 периодические решения только при условии, что соответствующий коэффициент Фурье правой части равен нулю: qm = 0. При этом Веб - страница единственность 2-периодического решения теряется: коэффициент Фурье ym может быть выбран произвольно (здесь также используется тот факт, что экспонента eimx Титульный лист является решением однородного уравнения).

Наконец, если при некотором целом m одновременно P (im) = 0 и qm = 0, периодического решения не существует. 3.2. Задача о колебаниях закрепленной струны Страница 57 из Рассмотрим струну, закрепленную в точках 0 и на оси x с положением равновесия Назад по отрезку [0, ]. Если придать струне произвольную начальную форму, заданную, например, функцией f(x), и затем отпустить, струна начнет колебаться. Требуется найти форму струны в произвольный последующий момент времени. В математиПолный экран ческой физике выводится следующее уравнение для функции u(x, t), описывающей форму струны в момент времени t:

Закрыть 2u 2u = a2, (3.4) t2 xВыход где a Ч некоторая постоянная. Уравнение (3.4) будем рассматриваться с начальными условиями u(x, 0) = f(x) (начальная форма), u = 0 (струна отпущена без начальной скорости).

t Ряды Фурье t=Интегралы Фурье Имеются также граничные условия Предметный указатель Литература u(0, t) = u(, t) = 0.

Будем искать решение в виде ряда Фурье по синусам Веб - страница u(x, t) = bn(t) sin nx, Титульный лист n=что сразу позволяет удовлетворить граничным условиям. Вычисляя формально ко эффициенты Фурье левой и правой частей волнового уравнения (3.4), приходим к равенствам b (t) = -a2n2bn(t) (n N).

n Начальные условия будут выполнены, если Страница 58 из bn(0) = bn, Назад b (0) = 0, n Полный экран где bn Ч коэффициенты Фурье функции f(x): bn = f(x) sin nx dx. Решение задачи Коши для функций bn(t) имеет вид Закрыть bn(t) = bn cos(ant), Выход что ведет к представлению искомого решения в виде u(x, t) = bn cos(ant) sin(nx). (3.5) n=Ряды Фурье Однако, чтобы полученная функция u(x, t) была действительно решением, надо обесИнтегралы Фурье печить возможность дважды непрерывно дифференцировать ряд (3.5) как по t, так Предметный указатель и по x почленно. Например, достаточно потребовать сходимости ряда Литература |bn|n2.

Веб - страница n=Последний ряд заведомо сходится, если функция f(x), например, трижды непрерывТитульный лист но дифференцируема на [0, ] и f (0) = f () = 0.

В этом случае bn = - f (x) cos nx dx, nСтраница 59 из n т.е. bn n2 =, где ряд |n|2 сходится.

n Назад n=Заметим далее, что Полный экран sin n(x - at) + sin n(x + at) cos(ant) sin(nx) = и Закрыть f(x) = bn sin nx.

n=1 Выход Отсюда f(x - at) + f(x + at) u(x, t) =.

Найденное решение имеет вид суперпозиции двух разбегающихся со скоростью a волн. Отметим, что в последнем представлении решения функция f(x) должна поРяды Фурье ниматься как продолженная. Функция f(x) исходно была задана лишь на интервале Интегралы Фурье [0, ]. В ходе решения она фактически была продолжена сначала как нечетная на Предметный указатель интервал [-, ] и далее периодически с периодом 2.

итература Более общие примеры и метод Фурье разделения переменных, позволяющий рассматривать более общие постановки задач, будут рассмотрены в курсе математичеВеб - страница ской физики или на семинарских занятиях.

Титульный лист Страница 60 из Назад Полный экран Закрыть Выход 4. Нетригонометрические ряды Фурье 4.1. Краевые задачи теории дифференциальных уравнений Основной задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши. В Ряды Фурье физических приложениях же на первый план выступают так называемые краевые задачи. Мы остановимся на краевых задачах для обыкновенных дифференциаль- Интегралы Фурье ных уравнений второго порядка. В достаточно общей форме такая задача ставится Предметный указатель следующим образом.

итература На отрезке [a, b] отыскать решения y = y(x) дифференциального уравнения Веб - страница p2(x)y + p1(x)y + p0(x)y = f(x), (4.1) удовлетворяющие краевым (или граничным) условиям Титульный лист 0y(a) + 1y (a) = c1, (4.2) 0y(b) + 1y (b) = c2.

Функции p0, p1, p2 и f будут предполагаться непрерывными. Если c1 = c2 = 0, краевые условия называются однородными. Мы ограничимся именно этим случаем.

Последнее ограничение позволяет нам рассматривать множество непрерывно дифференцируемых7 на отрезке [a, b] функций, удовлетворяющих однородным краСтраница 61 из евым условиям, как линейное пространство. Обозначим это пространство функций через V1. Подпространство дважды непрерывно дифференцируемых функций из Vобозначим через V2. Тогда краевая задача примет вид: найти y V2 такие, что Назад L(y) = f, (4.3) Полный экран где L Ч линейный оператор, определенный на функциях из V28 равенством L(y) = p2(x)y + p1(x)y + p0(x)y.

Закрыть в случае условий Дирихле вместо непрерывной дифференцируемости можно ограничиться просто непрерывностью значения оператора L, конечно, уже не лежат в VВыход Естественно возникают вопросы: какова область значений оператора L, т.е. при каких f уравнение (4.3) имеет решение Единственно ли решение, если задача разрешима Для ответа на эти вопросы нужно изучить спектральные свойства оператора L. Последнее означает, что нужно изучить разрешимость задачи на собственные функции и собственные значения оператора L, т.е. найти все пары (, y), где C Ряды Фурье и y V2, y = 0 такие, что Интегралы Фурье L(y) = y.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 8 |    Книги по разным темам