Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 | Н. А. Булгаков ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА СПРАВОЧНИК Х ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Х Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет Н. А. Булгаков ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА СПРАВОЧНИК Тамбов Х Издательство ТГТУ Х 2002 УДК 531(075) ББК В3я73 Б90 Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор кафедры "Приемные и передающие радиоустройства" ТВАИИ, заслуженный работник высшей школы РФ Д. Д. Дмитриев Кандидат технических наук, профессор кафедры "Физика" ТВАИИ В. С. Макаров Булгаков Н. А.

Б90 Основные законы и формулы по математике и физике: Справочник. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.

ун-та, 2002. 72 с.

Представлены в сжатой форме основные законы и формулы по всему курсу физики, а также по школьной и высшей математике, знание которых необходимо для решения задач и осмысления физической сущности явлений.

Основное назначение Ч помочь быстро найти или восстановить в памяти необходимые законы и формулы. Используется современная терминология и обозначения.

Привлекателен в качестве справочного материала при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам.

Помимо студентов вузов может быть полезен инженерно-техническим работникам и учащимся колледжей и школ.

УДК 531(075) ББК В3я73 й Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2002 й Н. А. Булгаков, 2002 Справочное издание БУЛГАКОВ Николай Александрович ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА Редактор З. Г. Чернова Инженер по компьютерному макетированию М. Н. Рыжкова ЛР № 020851 от 27.09.99 Плр № 020079 от 28.04.97 Подписано в печать 02.03.2002.

Гарнитура Times ET. Формат 60 84 / 16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,2 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л.

Тираж 500 экз. С. 151М Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, Советская, 106, к. ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА n Числовые неравенства:

Если a > b, то b < a.

Если a > b и b > c, то a > c.

Если a > b, то a + c > b + c.

Если a > b и c > 0, то ac > bc.

Если a > b и c < 0, то ac < bc.

Если a > b и c > d, то a + c > b + d.

Если a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, причем a > b и c > d, то ac > bd.

Если a > b > 0 и n Ч натуральное число, то an > bn.

n Разложение на множители:

a2 - b2 = (a - b)(a + b); a2 2ab + b2 = (a b) ;

a3 b3 = (a b)(a2 m ab + b2); a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b) ;

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где x1 и x2 Ч корни уравнения ax2 + bx + c = 0.

:

n Квадратное уравнение ax2 + bx + c = - b D - b b2 - 4ac x1,2 = = Ч формула корней квадратного уравнения.

2a 2a b c Теорема Виета: x1 + x2 = -, x1 x2 =.

a a n Арифметическая прогрессия:

a1, a2,..., an,... Ч члены арифметической прогрессии;

d Ч разность арифметической прогрессии;

an+1 = an + d Ч определение арифметической прогрессии;

an = a1 + d(n - 1) Ч формула n-го члена;

an-1 + an+an = Ч характеристическое свойство;

a1 + an 2a1 + d (n - 1)n Ч формула суммы n первых членов.

Sn = n = 2 n Геометрическая прогрессия:

a1, a2,..., an,... Ч члены геометрической прогрессии;

q Ч знаменатель геометрической прогрессии;

bn +1 = b q, b 0, q 0 Ч определение геометрической прогрессии;

bn = b1qn-1 Ч формула n-го члена;

bn = bn-1bn+1 Ч характеристическое свойство;

bnq - b1 b1(qn - 1) Sn = = Ч формула суммы n первых членов;

q - 1 q - bS = Ч формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при q < 1.

1 - q ТРИГОНОМЕТРИЯ n Свойства тригонометрических функций:

sin(-x) = - sin x ; sin(x + 2k) = sin x ;

cos(-x) = cos x ; cos(x + 2k) = cos x ;

tg (- x) = -tg x ; tg (x + k) = tg x ;

ctg(-x) = -ctg x ; ctg (x + k) = ctg x, где k Ч любое целое число.

n Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов Аргумент Функция 6 4 3 2 2 sin 0 1 0 Ц2 3 cos 1 0 Ц1 2 tg 0 1 Ч 0 Ч ctg Ч 1 0 Ч Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерении угла:

1 = рад.

n Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

sin cos sin2 + cos2 = 1; tg = ; ctg = ;

cos sin 1 1 + tg2 = ; 1 + ctg2 =.

cos2 sinn Формулы двойного угла:

2tg sin 2 = 2 sin cos = ;

1 + tg1 - tgcos 2 = cos2 - sin2 = 1 - 2 sin2 = ;

1 + tg2 tg ctg2 - tg 2 = ; ctg 2 =.

2 ctg 1 - tgn Формулы тройного угла:

sin 3 = 3 sin - 4 sin3 ; cos 3 = 4 cos3 - 3 cos.

n Формулы понижения степени:

1 - cos 2 1 + cos sin2 = ; cos2 =.

2 n Формулы сложения и вычитания аргументов:

sin( ) = sin cos cos sin ;

cos( ) = cos cos m sin sin ;

tg tg tg ( ) =.

1 m tg tg n Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:

+ - sin + sin = 2 sin cos ;

2 - + sin - sin = 2 sin cos ;

2 + - cos + cos = 2 cos cos ;

2 + - cos - cos = -2 sin sin ;

2 sin ( ) tg m tg =.

cos cos n Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:

sin sin = (cos( - ) - cos( + ));

cos cos = (cos( - ) + cos( + )) ;

sin cos = (sin( - ) + sin( + )).

n Знаки тригонометрических функций по четвертям Четверть Функция I II III IV sin + + - - cos + - - + tg + - + - ctg + - + - n Формулы приведения Аргумент t 3 Функция - + - + - + 2 - 2 2 2 sin t cos cos sin - sin - cos - cos - sin cos t sin - sin - cos - cos - sin sin cos tg t ctg - ctg - tg tg ctg - ctg - tg ctg t tg - tg - ctg ctg tg - tg - ctg n Решение простейших тригонометрических уравнений:

n sin x = a, a 1, x = (- 1) arcsin a + n ;

cos x = a, a 1, x = arccos a + 2n ;

tg x = a, x = arctg a + n ;

ctg x = a, x = arcctg a + n, n Ч целое число.

n Обратные тригонометрические функции:

- arcsin x, 0 arccos x ;

2 - < arctg x <, 0 < arcctg x < ;

2 arcsin(-x) = - arcsin x; arccos(-x) = - arccos x ;

arctg (-x) = -arctg x; arcctg (-x) = - arcctg x.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ a+b+c Обозначения: a, b, c Ч длины сторон ABC, h Ч высота, p = Ч полупериметр, S Ч площадь, R и r Ч радиусы описанной и вписанной окружностей.

n Теорема синусов. В любом треугольнике a b c = =.

sin sin sin n Теорема косинусов. В любом треугольнике a2 = b2 + c2 - 2bc cos.

n Формулы площади любого треугольника:

aha bhb chc 1 abc S = = =, S = ab sin, S = pr, S =, 2 2 2 2 4R S = p(p - a)(p - b)(p - c) Ч формула Герона.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2 d = (x2 - x1) + (y2 - y1) Ч расстояние между точками M1(x1 ; y1) и M2(x2 ; y2).

x1 + x2 y1 + y x =, y = Ч координаты точки, делящей отрезок с концами M1(x1 ; y1) и M2(x2 ; y2) в 1 + 1 + отношении = M1M : MM2.

.

Ax + By + C = 0 Ч общее уравнение прямой ( A, B, C Ч любые вещественные числа, A2 + B2 0) y = kx + b Ч уравнение прямой с угловым коэффициентом k (b Ч величина отрезка, отсекаемого прямой по оси Oy ).

y - y1 = k(x - x1) Ч уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M1(x1 ; y1).

y - y1 x - x.

= Ч уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1 ; y1) и M2(x2 ; y2) y2 - y1 x2 - xx y + = 1 Ч уравнение прямой в отрезках ( a, b Ч величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox a b и Oy ).

Ax0 + Bx0 + C.

d = Ч расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By + C = A2 + Bk2 - k tg = Ч формула вычисления одного из углов между прямыми y = k1x + b1 и y = k2x + b2.

1 + k1kx2 y + = 1 Ч каноническое уравнение эллипса ( a, b Ч полуоси).

a2 bx2 y - = 1 Ч каноническое уравнение гиперболы.

a2 b y2 = 2px, y2 = -2px Ч каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ox ( p > 0 Ч параметр).

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ X = x2 - x1, Y = y2 - y1, Z = z2 - z1 Ч выражение координат вектора AB через координаты точек A(x1 ; y1 ; z1) и B (x2 ; y2 ; z2 ).

2 a = X + Y + Z2 Ч выражение длины вектора a = {X ; Y ; Z} через его координаты.

2.

d = (x2 - x1) + (y2 - y1) + (z2 - z1) Ч расстояние между точками M1(x1 ; y1 ; z1) и M2(x2 ; y2 ; z2 ) a b = a b cos Ч определение скалярного произведения векторов a и b ( Ч угол между векторами).

a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 Ч выражение скалярного произведения векторов a = {X1 ; Y1 ; Z1} и b = {X2 ; Y2 ; Z2} через их координаты.

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z cos = Ч выражение угла между векторами.

2 2 2 X1 + Y12 + Z1 X2 + Y22 + Z Ax + By + Cz + D = 0 Ч общее уравнение плоскости ( A, B, C Ч любые вещественные числа, A2 + B2 + C2 0 ).

Ax0 + By0 + Cz0 + D d = Ч расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

A2 + B2 + Cx - x0 y - y0 z - z = = Ч каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a = {l ; m ; n}, l m n проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ).

x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt Ч параметрические уравнения прямой.

x2 y2 z + + = 1 Ч каноническое уравнение эллипсоида ( a, b, c Ч полуоси).

a2 b2 cx2 y2 z + - = 1 Ч каноническое уравнение однополосного гиперболоида.

a2 b2 cx2 y2 z + - = -1Ч каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.

a2 b2 cx2 y + = z Ч каноническое уравнение эллиптического параболоида (p>0, q>0 Ч параметры).

2p 2q x2 y - = z Ч каноническое уравнение гиперболического параболоида.

2p 2q x2 y2 z + - = 0 Ч каноническое уравнение конуса второго порядка a2 b2 cДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ sin x lim = 1 Ч первый замечательный предел.

x0 x x lim 1 + = e Ч второй замечательный предел.

x x f(x0 + x) - f(x0 ) f (x0 ) = lim Ч определение производной функции y = f(x) в точке x0.

xx dy = f (x0)dx Ч дифференциал функции f(x) в точке x0.

Производные простейших элементарных функций:

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 1) (u v) = u v ; 2) (uv) = u v + uv ; 3) u uv - uv =, v 0.

v v Производная постоянной функции, y = f(x) = C y =.

(Cu) = Cu Производная степенной функции 1 (xn) = nxn-1 ; ( x) = x = ;

= (x-1) = -.

x x2 x Производная показательной функции (ax) = ax ln a ; (ex) = ex.

Производная логарифмической функции 1 (loga x) = ; (ln x) =.

x ln a x Производные тригонометрических функций:

(sin x) = cos x ;

(arcsin x) = ;

1 - x(arccos x) = - ;

(cos x) = - sin x ;

1 - x(arctg x) = ;

(tg x) = = sec2 x ;

1 + xcos2 x (arcctg x) = -.

(ctg x) = - = -cosec2x ;

1 + xsin2 x y (t0 ) = f (x0) (t0 ) Ч правило дифференцирования сложной функции y = f[(t)] в точке t0 ; здесь x0 = (t0 ).

(y0) = Ч правило дифференцирования обратной функции x = (y) в точке y0 = f (x0).

f (x0) n(n - 1)u( v +... + uv(n) Ч формула Лейбница.

n) n- 2) (uv)( = u(n)v + nu(n-1)v + 1 f (b) - f (a)= f (c) Ч формула Лагранжа; c (a, b).

b - a f (b) - f (a) f (c) = Ч формула Коши; c (a, b).

g (b) - g (a) g (c) f (a) f (a)(x - a) +... + f (x) = f (a) + (x - a) + 1! 2! (n) (n+1) f (a) f () n n++ (x - a) + (x - a) Ч формула Тейлора; (a, x).

n! (n + 1)! При a = 0 получаем формулу Маклорена (n) (n+1) f (0) f (0) f (0) f (0) f (x) = f (0) + x + x2 +... + x(n) + x(n+1).

1! 2! n! (n + 1)! Неопределенный и определенный интегралы Табличные интегралы:

x +1 dx xdx = + C ( -1); = ln x + C;

+ 1 x ax x x a dx = + C (0 < a 1); e dx = ex + C;

ln a sin x dx = - cos x + C; cos x dx = sin x + C;

dx dx = -ctg x + C; = tg x + C;

sin2 x cos2 x dx x dx = arcsin + C; = arcsin x + C;

a a2 - x2 1 - xdx dx 1 x = arctg x + C; = arctg + C;

a a 1 + x2 a2 + xdx 1 x - a dx 1 x - = ln + C (a 0); = ln + C;

2a x + a 2 x + x2 - a2 x2 - dx 1 x dx = arctg + C (a 0); = arctg x + C;

a a x2 + a2 x2 + dx dx = ln x + x2 k + C; = ln x + x2 1 + C.

x2 k x2 f(x)dx = f[(t)] (t)dt Ч формула замены переменной в неопределенном интеграле.

x =(t) b f(x)dx = f[(t)] (t)dt Ч формула замены переменной в определенном интеграле; () = a, () = b.

a (x)v (x)dx = u(x)v(x) - (x)u (x)dx Ч формула интегрирования по частям в неопределенном u v интеграле.

b b b dv = uv - du Ч формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

u v a a a b f(x)dx = f(c)(b - a) Ч формула среднего значения; c [a, b].

a b b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) Ч формула Ньютона-Лейбница.

a a b n s = f (x)dx Ч площадь криволинейной трапеции a.

0 y f(x), a x b s = (t) (t)dt Ч площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически:

.

x = (t), y = (t), t s = 2 ()d Ч площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах: = (),.

b.

L = 1 + (f (x)) dx Ч длина дуги кривой, заданной уравнением y = f(x), a x b a 2 L = ( (t)) + ( (t)) dt Ч длина дуги кривой, заданной параметрически: x = (t), y = (t), t.

2 L = (()) + ( ()) d Ч длина дуги кривой, заданной в полярных координатах: = (),.

b V = f (x)dx Ч объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 y f(x), a x b.

a b P = 2 f (x) 1 + (f (x)) dx Ч площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции a 0 y f(x), a x b.

Ф И З И К А I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ Средняя и мгновенная скорости материальной точки r s v =, v = ;` t t r s v =, v =, t t где r Ч элементарное перемещение точки за промежуток времени t; r Ч радиус-вектор точки; s Ч путь, пройденный точкой за промежуток времени t.

Среднее и мгновенное ускорения материальной точки v dv a =, a =.

t dt Полное ускорение при криволинейном движении 2 a = a + an, a = a + an, dv vгде a = Ч тангенциальная составляющая ускорения; an = Ч нормальная составляющая dt r ускорения ( r Ч радиус кривизны траектории в данной точке).

Путь и скорость для равнопеременного движения ats = v0t ;

v = v0 at, где v0 Ч начальная скорость.

Угловая скорость d =.

dt Угловое ускорение d =.

dt Угловая скорость для равномерного вращательного движения = = = 2n, t T где T Ч период вращения; n Ч частота вращения (n = N / t, где N Ч число оборотов, совершаемых телом за время t ).

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |    Книги по разным темам